Метод Гаусса

Рассмотрим метод Гаусса (схему единственного деления) решения системы уравнений. Прямой ход состоит из m-1 шагов исключения.

1. Шаг. Исключим неизвестное из уравнений с номерами i = 2,3,..m. Предположим, что . Будем называть его ведущим элементом 1-го шага.

Найдем величины , i=2,3,...m , называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, ...m vго уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на . В результате 1-го шага получим эквивалентную систему уравнений:

Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k-ый шаг. Предположим, что ведущий элемент . Вычислим множители к-го шага:, i=k+1,...m и вычтем последовательно из (k+1)-го, ...m v го уравнений системы k-ое уравнение, умноженное соответственно на .После (m-1)-го шага исключения получим систему уравнений:

,

матрица которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим . Подставляя найденное значение в предпоследнее уравнение, получим . Далее последовательно находим неизвестные .