Если матрица системы является разреженной, то есть содержит большое число нулевых элементов, то применяют еще одну модификацию метода Гаусса - метод прогонки. Рассмотрим систему уравнений с трехдиагональной матрицей:
Преобразуем первое уравнение системы к виду , где: , . Подставим полученное выражение во второе уравнение системы и преобразуем его к виду: и т.д.
На i-ом шаге уравнение преобразуется к виду: , где , .
На m-ом шаге подстановка в последнее уравнение выражения
дает возможность определить значение :
.
Значения остальных неизвестных находятся по формулам:
, i = m-1, m-2, ..., 1.
ПРИМЕР 4. Решение системы методом прогонки.
Прямой ход прогонки. Вычислим прогоночные коэффициенты:
, ,
,
, ,
,
Обратный ход прогонки. Находим значения неизвестных:
, , ,
Ответ:
.