Метод простой итерации.

Если A - симметричная и положительно определенная матрица, то систему уравнений часто приводят к эквивалентному виду: x = x - (Ax - b), - итерационный параметр.

Расчетная формула метода простой итерации в этом случае имеет вид: x ⁽ⁿ⁺¹⁾ = x ⁿ - (Ax ⁿ - b).

Здесь B = E - A и параметр > 0 выбирают так, чтобы по возможности сделать минимальной величину .

Пусть и - минимальное и максимальное собственные значения матрицы A. Оптимальным является выбор параметра . В этом случае принимает минимальное значение равное .

 

ПРИМЕР 3. Решение систем линейных уравнений методом простой итерации.

% Решить систему Ax=b методом простой итерации.

A = [3 -2 0; -2 3 0; 0 0 3];

b = [-21;24;15];

e = eig(A);

% Вычислим итерационный параметр

tau = 2 / (min(e) + max(e));

r = 1;

% Выполняем метод простой итерации с начальным приближением x0

x0 = [0;0;0];

y = x0;

while r > 100 * eps

x = y - tau * (A * y - b);

r = norm(x-y);

y = x;

end

% Проверим полученное значение

A * x – b

>>

ans =

1.0e-013 *

	-0.2842
0.2487