Оценка погрешности интерполяции

Если функция n+1 раз на отрезке [a,b] , содержащем узлы интерполяции , i=0,1,...n, то для погрешности интерполяции справедлива оценка:

. Здесь , .

Эта оценка показывает, что для достаточно гладкой функции при фиксированной степени интерполяционного многочлена погрешность интерполяции стремится к нулю не медленнее, чем величина, пропорциональная . Этот факт формулируют так: интерполяционный многочлен степени n аппроксимирует функцию с (n+1) порядком точности относительно .

 

ПРИМЕР 3. Использование остаточного члена интерполяции.

Пусть требуется составить таблицу функции на отрезке [1,10]. Какой величины должен быть шаг h, чтобы при линейной интерполяции значение функции восстанавливалось с погрешностью не меньшей ?

Запишем остаточный член интерполяции при линейной интерполяции:

.

Так как , то . Тогда . Следовательно, .

В практическом плане формула Ньютона обладает преимуществами перед формулой Лагранжа. Предположим, что в необходимо увеличить степень многочлена на единицу, добавив в таблицу еще один узел . При использовании формулы Лагранжа это приводит к необходимости вычислять каждое слагаемое заново. Для вычисления достаточно добавить к лишь очередное слагаемое: . Если функция f достаточно гладкая, то справедливо приближенное равенство . Это равенство можно использовать для практической оценки погрешности интерполяции: _.

Задание для самостоятельной работы

1. Построить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, приближающие табличную функцию:

x
y

2. Функция y = sin(x) приближается на отрезке интерполяционным многочленом по значениям в точках 0, , . Оценить погрешность интерполяции на этом отрезке.

3. Определить степень многочлена Лагранжа на равномерной сетке, обеспечивающую точность приближения функции на отрезке [0, 1] не хуже 0.001.

4. Пусть в точках и известны не только значения функции и , но и значения производных и . В этом случае узлы называются кратными. Построить интерполяционный многочлен с кратными узлами.

Вопросы

1. Сформулируйте постановку задачи приближения функции по методу интерполяции.

2. Запишите интерполяционный многочлен Ньютона и интерполяционный многочлен Лагранжа первой степени.

3. Сформулируйте теорему об оценке погрешности интерполяции.

4. Какие преимущества имеет запись интерполяционного многочлена по формуле Ньютона перед формулой Лагранжа.

10 Интерполяция сплайнами