Пусть отрезок [a,b] разбит точками на n частичных отрезков . Сплайном степени m называется функция , обладающая следующими свойствами:
1) функция непрерывна на отрезке [a,b] вместе со своими производными до некоторого порядка p;
2) на каждом частичном отрезке функция совпадает с некоторым алгебраическим многочленом степени m.
Разность m-p между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отрезке [a ,b] производной называют дефектом сплайна. Кусочно-линейная функция является сплайном первой степени с дефектом, равным единице. Действительно, на отрезке [a ,b] сама функция (нулевая производная) непрерывна. В то же время на каждом частичном отрезке совпадает с некоторым многочленом первой степени.
ПРИМЕР 3. Построение параболического сплайна.
Пусть дан фрагмент таблицы значений функции:
x | -1 | ||
y | 1.5 | 0.5 | 2.5 |
Требуется построить параболический сплайн дефекта 1.
Так как строится сплайн , то он будет представлен двумя полиномами 2-ой степени:
.
Функция должна удовлетворять условиям:
- это есть условие интерполяции;
- это есть условие непрерывности первой производной.
Таким образом, получили 5 условий для нахождения 6-сти неизвестных. Два условия дополнительно накладывают на сплайн в граничных точках.
Возьмем, например дополнительное граничное условие следующего вида .
Тогда получим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов :
Эта система легко решается:
, , , , , .
Таким образом:
.
Наиболее широкое распространение получили сплайны 3 степени (кубические сплайны) с дефектом равным 1 или 2. Система для осуществления сплайн-интерполяции кубическими полиномами предусматривает несколько встроенных функций. Одна из них рассмотрена в примере.
ПРИМЕР 4 . Построение сплайн-интерполяции (рис. 10.4).
% Построить интерполяцию сплайнами функции Рунге
% Введём функцию Рунге
f = inline('1./(1+25*x.^2)');
% Вычислим таблицу значений
x = linspace(-1, 1, 10);
y = f(x);
% Вычислим сплайн-интерполяцию
xx = linspace(-1, 1, 100);
yy = spline(x, y, xx);
% Начертим графики
axes('NextPlot', 'Add');
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
% Красным на графике - аппроксимация, жирным - исходная функция.
plot(xx, yy, 'Color', 'r');
Рис. 10.4 - построение сплайн-интерполяции
Погрешность приближения кубическими сплайнами.
Пусть функция f имеет на отрезке [a,b] непрерывную производную четвертого порядка и .
Тогда для интерполяционного кубического сплайна справедлива оценка погрешности: .
Задание для самостоятельной работы
1. Функция y = f(x) задана таблицей своих значений.
X | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | ||
Y | 0.75 | 1.1 | 1.35 | 1.25 | 1.05 | 0.8 |
Предложить способы интерполирования для нахождения значений функции в точках 0.24, 0.5, 0.96.
2. Функция y = f(x) задана таблицей своих значений.
X | |||
Y |
Построить интерполяционный кубический сплайн с граничными условиями , .
3. Проинтерполировать функцию задачи 2 методом кусочно-линейной интерполяции и построить график исходной функции и найденных многочленов.
Вопросы
1. Объясните разницу между глобальной и кусочно-полиномиальной интерполяцией. Почему на практике чаще используется кусочно-полиномиальная интерполяция.
2. Дайте определение интерполяционного сплайна m-ой степени.
3. Что такое дефект сплайна.
4. Запишите формулу сплайна первой степени с дефектом единица.