Локальной погрешностью метода называется величина . Найдем величину локальной погрешности метода Эйлера: , при условии, что .
Другими словами погрешность, которую допускает за один шаг метод, стартующий с точного решения.
Глобальной погрешностью (или просто погрешностью) численного метода называют сеточную функцию со значениями в узлах. В качестве меры абсолютной погрешности метода примем величину .
Можно показать, что для явных одношаговых методов из того, что локальная погрешность имеет вид следует, что , где и M - некоторые константы.
Таким образом, метод Эйлера является методом первого порядка точности. Для нахождения решения задачи Коши с заданной точностью требуется найти такое приближенное решение , для которого величина глобальной погрешности . Так как точное решение задачи неизвестно, погрешность оценивают с помощью правила Рунге.
Правило Рунге оценки погрешностей.
Для практической оценки погрешности проводят вычисления с шагами h и h/2. За оценку погрешности решения, полученного с шагом h/2, принимают величину, равную , где p - порядок метода.
ПРИМЕР 2. Оценка погрешности по правилу Рунге.
% Решить задачу Коши методом Эйлера и оценить погрешность по правилу Рунге.
% Введём функцию
f = inline('y-t');
% Начальные условия
y0 = 1.5;
% Точное решение
ye = dsolve('Dy=y-t','y(0)=1.5');
% Приближённое решение по методу Эйлера, t=0..1
n = 100;
h = 1 / n;
y = [];
t0 = 0;
for i=1:n
y(end+1) = y0;
y0 = y0 + h * f(t0, y0);
t0 = t0 + h;
end
% Найдём погрешность решения
t = linspace(0, 1, n);
dy = max(abs(y - subs(ye, t)))
>>
dy = 0.0301