Оценка погрешности метода Эйлера

Локальной погрешностью метода называется величина . Найдем величину локальной погрешности метода Эйлера: , при условии, что .

Другими словами погрешность, которую допускает за один шаг метод, стартующий с точного решения.

Глобальной погрешностью (или просто погрешностью) численного метода называют сеточную функцию со значениями в узлах. В качестве меры абсолютной погрешности метода примем величину .

Можно показать, что для явных одношаговых методов из того, что локальная погрешность имеет вид следует, что , где и M - некоторые константы.

Таким образом, метод Эйлера является методом первого порядка точности. Для нахождения решения задачи Коши с заданной точностью требуется найти такое приближенное решение , для которого величина глобальной погрешности . Так как точное решение задачи неизвестно, погрешность оценивают с помощью правила Рунге.

Правило Рунге оценки погрешностей.

Для практической оценки погрешности проводят вычисления с шагами h и h/2. За оценку погрешности решения, полученного с шагом h/2, принимают величину, равную , где p - порядок метода.

 

ПРИМЕР 2. Оценка погрешности по правилу Рунге.

 

% Решить задачу Коши методом Эйлера и оценить погрешность по правилу Рунге.

% Введём функцию

f = inline('y-t');

% Начальные условия

y0 = 1.5;

% Точное решение

ye = dsolve('Dy=y-t','y(0)=1.5');

% Приближённое решение по методу Эйлера, t=0..1

n = 100;

h = 1 / n;

y = [];

t0 = 0;

for i=1:n

y(end+1) = y0;

y0 = y0 + h * f(t0, y0);

t0 = t0 + h;

end

% Найдём погрешность решения

t = linspace(0, 1, n);

dy = max(abs(y - subs(ye, t)))

>>

dy = 0.0301