Метод Эйлера обладает медленной сходимостью, поэтому чаще применяют методы более высокого порядка точности. Второй порядок точности по имеет усовершенствованный метод Эйлера: . Этот метод имеет простую геометрическую интерпретацию. Метод Эйлера называют методом ломаных, так как интегральная кривая на отрезке заменяется ломаной с угловым коэффициентом . В усовершенствованном методе Эйлера интегральная кривая на отрезке заменяется ломаной с угловым коэффициентом, вычисленным в средней точке отрезка . Так как значение в этой точке неизвестно, для его нахождения используют метод Эйлера с шагом .
ПРИМЕР 3. Решение задачи усовершенствованным методом Эйлера.
Выполнить 1 шаг длины 0.4 с использованием усовершенствованного метода Эйлера для решения задачи Коши: .
Зададим шаг . Тогда решение в точке 1.4 находится так:
=
Таким образом .
Еще одна модификация метода Эйлера второго порядка - метод Эйлера-Коши: