Уравнение теплопроводности (параболическое уравнение)
Типичная задача, описывающая теплоперенос вдоль одномерного стержня единичной длинны 
при заданном начальном распределении температуры от (x) и заданных температурных режимах на концах стержня y (t), f (t) ставится следующим образом:
t>0, 0 £ x £ 1;
U(0,x)=j (x)
U(t,0)=y (t); U(t,1)=f (t); (16.1)
Эта модельная задача является смешанной, так как содержит начальные (при t=0) и краевые условия (при x=0 и x=1). Она описывает различные диссипативные процессы (типа теплопроводности или диффузии) в твердых телах, газах, плазме, в магнитной гидродинамике, в биологии и т.д.
Областью решения задачи (16.1) будет являться полуполоса t>0, 0 £ x £ 1. Путем замены переменных 
дифференциальное уравнение приводится к виду:
поэтому избавимся от множителя 
, считая его равным 
единице. Тогда задача запишется в виде:
0 £ t £ T, 0 £ x £ 1;
U(0,x)=j (x);
U(t,0)=y (t); U(t,1)=f (t);
Наложим на область 0 £ t £ T, 0 £ x £ 1 сетку образованную прямыми параллельными осям координат с шагом по x равным 
, и шагом по t равным 
, т.е. 
где n и m количество линий сетки. Введем обозначения 
и заменим производную по длине центральным разностным отношением:
(16.2)
а производную по времени правым конечно-разностным отношением:
.
Подставив эти выражения в дифференциальное уравнение получим конечно-разностное уравнение справедливое для всех внутренних узлов сетки:
(16.3)
Начальные и краевые условия дадут следующие уравнения:
(16.4)
.
Таким образом, задача (16.2) сводится к системе линейных уравнений (16.3) (16.4), решив которую можно получить значения искомой функции в узлах сетки.
Конфигурация узлов, значения сеточной функции в которых определяют вид разностных уравнений, записываемых для внутренних точек сетки, называется шаблоном разностной схемы. Для схемы (3) шаблон связывает одну точку слоя (временного) 
с тремя точками слоя 
.
Введем обозначение 
и решим уравнение (3) относительно 
:
и пользуясь этим уравнением и значениями в начальных и граничных точках последовательно восстанавливать значения искомой функции в узлах сетки от слоя к слою, поэтому схема (3) называется явной.
Если заменить производную по времени левым конечно разностным уравнением:
,
то получим неявную схему связывающую три точки слоя j с одной точкой предыдущего слоя j-1:
(16.5)
,
Получаемая система линейных уравнений не эквивалентна системе с треугольной матрицей как при использовании явной схемы и для ее решения используется специальный прием позволяющий разделить систему на некоторое число систем меньшей размерности.
Рассмотрим точки первого слоя с номерами i=1, n-1. Поскольку значения искомой функции на предыдущем слое 
известны из начальных условий для каждой точки этого слоя получим уравнение связывающее три неизвестных, причем в крайних точках слоя значения функции известны из граничных условий, т.е. получаем систему уравнений с трехдиагональной матрицей решить которую можно методом прогонки. Затем, используя это решение можно найти значения функции на следующем слое и так далее.
При решении задач с частными производными особенно актуальным становится вопрос об устойчивости конечно-разностных схем. Пусть конечно-разностная схема с некоторым шагом h (скалярным или векторным) записывается в виде некоторого конечно-разностного оператора:
,
где 
- совокупность значений искомой функции в узлах сетки;
- совокупность значений правой части дифференциального уравнения в узлах сетки.
Определение. Решение полученное с помощью схемы 
называется устойчивым если для любого e >0 найдется ограничение шага 
, такое что решение возмущенной задачи с ограниченным возмущением:
; 
,
будет не сильно отклоняться от решения исходной задачи:
при любых значениях шага 
и константе C не зависящей от шага h .
Устойчивость явной схемы (16.3) зависит от соотношения шагов h и t, при выполнении условия 
эта схема будет устойчивой, в противном случае, т.е. при 
явная схема перестает быть устойчивой. Неявная схема (16.5) устойчива при любом выборе шагов.
Задание для самостоятельной работы
1. Найти для x = 0.1m, m=0 – 10, t=0.02 решение уравнения ut = (1/a) uxx , 0 < x < 1, 0 < t <0.02, удовлетворяющее условиям u(0,t) =e at , u(1,t) = e a (t -1), 0 < t < 0.02; u(x,0) = e- ax , 0 < x < 1; a = 2 + 0.3 k, k = - 4.
а) по явной разностной схеме, взяв h = 0.1, t < ah2/2;
б) по неявной разностной схеме, взяв h = 0.1, t = 0.02.
Сравнить полученные решения.
2. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи ut = uxx + (1 + ax)4 – 12 a 2 t(1 +ax)2, 0 < x < 1, 0 < t < 0.1; u(0,t) =t, u(1,t) = t (1 + a)4, 0 < t < 0.1; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a =
3. Найти решение задачи ut = uxx + (4x/(x 2 + 2t + 1)) ux , 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(2t +1), u(1,t) = 1/(2(t + 1)), 0 < t; u(x,0) = 1/(x 2 + 1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.1) с точностью e = 0.005.
4. Найти решение задачи ut = uxx + (4x/(x 2 + t + 1)) ux + x/(x 2 + t + 1)2, 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 0, u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t; u(x,0) = x/(x 2 + 1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.4) с точностью e = 0.01.
5. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи ut = uxx + (-a 2 t + 1)e-ax , 0 < x < 1, 0 < t < 0.01; u(0,t) =t, u(1,t) = t e-a , 0 < t < 0.01; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a= 0.5 k, k = 2 при t = 0.01 с точностью 0.001, если !utt ! < 0.02, !uxxxx ! < 6.
6. Найти решение задачи ut = (1/2) uxx - 4x 2/(x 2 + t + 1)3, 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(t + 1), u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t; u(x,0) = 1/(x 2 + 1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.3) с точностью e = 0.005.
7. Найти для x = 0.1m, m=0 – 10, t=0.02 решение уравнения ut = (1/a) uxx , 0 < x < 1, 0 < t < 0.02, удовлетворяющее условиям u(0,t) =e at , u(1,t) = e a ( t -1), 0 < t < 0.02; u(x,0) = e- ax , 0 < x < 1; a = 2 + 0.3 k, k = 4:
а) по явной разностной схеме, взяв h = 0.1, t < ah2/2;
б) по неявной разностной схеме, взяв h = 0.1, t = 0.02.
Сравнить полученные решения.
8. Найти решение задачи ut = uxx + (4x/(x 2 + t + 1)) ux, 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(2t + 1), u(1,t) = 1/(2(t + 1)), 0 < t; u(x,0) = 1/(x 2 + 0.1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.2) с точностью e = 0.005.
9. Найти решение задачи ut = (1/2) uxx + 4x 2/(x 2 + t + 1)3, 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(t + 1), u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t; u(x,0) = 1/(x 2 + 1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.2) с точностью e = 0.005.
10. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи ut = uxx + (-a 2 t + 1)e-ax , 0 < x < 1, 0 < t < 0.01; u(0,t) =t, u(1,t) = t e-a , 0 < t < 0.01; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 0.5 k, k = 4 при t = 0.01 с точностью 0.001, если !utt ! < 0.02, !uxxxx ! < 6.
11. Найти решение задачи ut = uxx + (4x/(x 2 + t + 1)) ux + x/(x 2 + t + 1)2, 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 0, u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t; u(x,0) = x/(x 2 + 1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.3) с точностью e = 0.01.
12. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи ut = uxx + (1 + ax)4 – 12 a 2 t (1 +ax)2, 0 < x < 1, 0 < t < 0.1; u(0,t) =t, u(1,t) = t (1 + a)4, 0 < t < 0.1; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 1 + 0.4 k, k = 4 при t = 0.01 с точностью 0.001, если !utt ! < 0.02, !uxxxx ! < 6.
13. Найти для x = 0.1m, m=0 – 10, t=0.02 решение уравнения ut = (1/a) uxx , 0 < x < 1, 0 < t <0.02, удовлетворяющее условиям u(0,t) =e at , u(1,t) = e a (t -1), 0 < t < 0.02, u(x,0) = e- ax , 0 < x < 1; a = 2 + 0.3 k, k = - 2:
а)по явной разностной схеме, взяв h = 0.1, t < ah2/2;
б) по неявной разностной схеме, взяв h = 0.1, t = 0.02.
Сравнить полученные решения.
14. Найти решение задачи ut = (1/2) uxx + 4x 2/(x 2 + t + 1)3, 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(t + 1), u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t; u(x,0) = 1/(x 2 + 1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.1) с точностью e = 0.005.
15. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи ut = uxx + (-a 2 t + 1)e-ax , 0 < x < 1, 0 < t < 0.01; u(0,t) =t, u(1,t) = t e-a , 0 < t < 0.01; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 0.5 k, k = 6 при t = 0.01 с точностью 0.001, если !utt ! < 0.02, !uxxxx ! < 6.
16. Найти решение задачи ut = uxx + (4x/(x 2 + t + 1)) ux , 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(2t + 1), u(1,t) = 1/(2(t + 1)), 0 < t; u(x,0) = 1/(x 2 + 0.1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.3) с точностью e = 0.005.
17. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи ut = uxx + (1 + ax)4 – 12 a 2 t(1 +ax)2, 0 < x < 1, 0 < t < 0.1; u(0,t) =t, u(1,t) = t (1 + a)4, 0 < t < 0.1; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 1 + 0.4 k, k = 3 при t = 0.01 с точностью 0.001, если !utt ! < 0.02, !uxxxx ! < 6.
18. Найти решение задачи ut = uxx + (4x/(x 2 + t + 1)) ux + x/(x 2 + t + 1)2, 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 0, u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t; u(x,0) = x/(x 2 + 1), 0 < x < 1 в точках (xm, T) xm = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.2) с точностью e = 0.01.
19. Найти для x = 0.1m, m=0 – 10, t=0.02 решение уравнения ut = (1/a) uxx , 0 < x < 1, 0 < t <0.02, удовлетворяющее условиям u(0,t) =e at , u(1,t) = e a (t -1), 0 < t < 0.02; u(x,0) = e- ax , 0 < x < 1; a = 2 + 0.3 k, k = 3:
а) по явной разностной схеме, взяв h = 0.1, t < ah2/2;
б) по неявной разностной схеме, взяв h = 0.1, t = 0.02.
Сравнить полученные решения.
20. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи ut = uxx + (-a 2 t + 1)e-ax , 0 < x < 1, 0 < t < 0.01; u(0,t) =t, u(1,t) = t e-a , 0 < t < 0.01; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 0.5 k, k = 1 при t = 0.01 с точностью 0.001, если ½utt ê < 0.02, ½uxxxx ê < 6.