Формальные и неформальные аксиоматические теории - раздел Математика, КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ Нами Изучены Две Математические Теории, Относящиеся К Логике: Алгебра Высказы...
Нами изучены две математические теории, относящиеся к логике: алгебра высказываний и алгебра предикатов. В обоих случаях делалось следующее:
· были объявлены первоначальные (неопределяемые) понятия: высказывание, истина, ложь, предикат.
· все остальные понятия определялись, опираясь на неопределяемые понятия, а также на общематематические неопределяемые понятия: множество, принадлежность элемента множеству, натуральное число, и др.
· были сформулированы некоторые аксиомы – утверждения, постулирующие свойства неопределяемых понятий: например, это были таблицы истинности логических связок в исчислении высказываний. Другие аксиомы использовались неявно: например, аксиомы теории множеств при работе с предикатами, понятия истинности формул с кванторами, аксиомы Пеано.
· все остальные теоремы были доказаны, исходя из аксиом с помощью рассуждений, правильность которых, фактически, принималась на веру.
· не было определено формального понятия “доказательство” и не были сформулированы явно правила рассуждений, которые допустимо использовать в доказательствах.
Все перечисленные черты присущи неформальным аксиоматическим теориям, структура которых обсуждалась в § 7 главы II.
Идя по тернистому пути к матемтической строгости, математики пытаются придать математическим теориям всё более формальный характер, чтобы исключить всякую возможность использования несанкционированных аксиомами и правилами вывода рассуждений. Программа такой формализации была выдвинута Д. Гильбертом в начале XX в., и первые её шаги вселяли уверенность в скором завершении строительства незыблемого и непоколебимого здания самой точной из всех наук – математики.
Построение формальной аксиоматической теории, в отличие от неформальной, предполагает следующие шаги:
o задание её алфавита, т.е. базовых символов аксиоматической теории, каждый из которых лишён какого-нибудь содержательного смысла.
o указываются правила построения формул теории из символов алфавита, т.е. её осмысленных предложений.
o из списка формул выделяется некоторое подмножество, элементы которого называются аксиомами формальной теории и считаются истинными.
o формулируются правила вывода, т.е. используемые при доказательствах правила вывода одних формул из других.
o формулируется определение доказательства и определение вывода формулы из совокупности других формул.
o все формулы, для которых существуют доказательства, называются доказуемыми или теоремами формальной теории.
На самом деле, некоторые черты построения формальных аксиоматических теорий были присущи и изложению предыдущих глав: так, например, в этих главах были определены понятия формул исчисления высказываний и формул исчисления предикатов. Однако последовательно идея формализма в жизнь не проводилась. Таким образом, наше изложение носило эклектичный характер.
П Р Е Д И С Л О В И Е
Хотя настоящее учебно-методическое пособие предназначено, в первую очередь, для студентов физико-математических специальностей пединститутов, оно может быть использовано и при чтении курса математи
Понятие высказывания
Математика, как это ни кажется странным, – наука устная: математики, рассуждая, оперируют высказываниями, именно общение является питательной средой математического творчества, в ко
Язык исчисления высказываний
В любом естественном языке есть возможность строить из простых высказываний более сложные.
Примеры: 1. “Сейчас температура воздуха на улице от –25 до –30 гра
Истинностные значения формул
Истинность или ложность элементарных высказываний оставляется на совести той области знания, к которой они относятся. Логика позволяет по заданным истинностным значениям элементарны
И равносильные формулы
Примеры предыдущего параграфа показывают, что таблицы истинности формул могут быть разнообразны. Формулы, принимающие при любых наборах значений пропозициональных переменных одно и
Булевы функции
После того как каждой формуле A(x1 , … , xn) при любом наборе x1 = e1 , … … , xn = en (ei
Логическое следование
Понятие логического следования является одним из важнейших в математической логике и имеет непосредственное отношение к жизни. Нам часто приходится обосновывать те или иные утвержде
Некоторые применения алгебры высказываний
I. Анализ логических рассуждений. Рассмотрим несколько примеров, которые используют понятие логического следования.
Примеры: 1. Правильно ли следующее лог
Предикаты и кванторы
Каждая наука имеет дело со специфическими объектами, совокупность которых образует объектную (или предметную) областьданной науки. Об этих объектах можно формулировать высказывания, которые
Язык исчисления предикатов
С помощью предикатов можно формулировать содержательные утверждения в различных областях знания. Поэтому важно дать средства построения осмысленных выражений с предикатами и приписы
Интерпретации формул исчисления предикатов
Уже в исчислении высказываний возникала ситуация, когда было невозможно однозначно говорить об истинности или ложности формулы: при одних значениях пропозициональных переменных эта формула может пр
Приведённая и предварённая нормальные формы
По аналогии с исчислением высказываний, найдём некоторую нормальную форму, к которой можно равносильными преобразованиями привести любую формулу исчисления предикатов.
С по
О структуре современных математических теорий
Очень кратко, не претендуя на полноту, опишем лишь основные черты, присущие всем математическим теориям на современном этапе развития.
Фундаментом любой математической теор
Некоторые методы доказательства теорем
Под теоремой обычно понимается математическое утверждение, которое можно доказать. Доказательством теоремыТ называется конечная последовательность теорем Т1
Непротиворечивость аксиоматических теорий
Система аксиом формальной теории, как и сама теория, называются непротиворечивой, если не существует такой формулы Ф этой формальной теории, что Ф и
Полнота аксиоматических теорий
Любая содержательная формальная теория строится для обоснования рассуждений в некоторых содержательных теориях. Возникает вопрос: насколько полно описывает формальная теория соответствующую содержа
Разрешимость аксиоматических теорий
Проблема разрешимости теории может быть сформулирована несколькими способами:
(Проблема доказуемости):Существует ли алгоритм, позволяющий за конечное число шагов эф
Независимость системы аксиом теории
Создавая аксиоматическую теорию, естественно стремиться не выписывать лишних аксиом – тех, которые выводимы из остальных. Система аксиом формальной теории называется независимой, если ни одн
Формальное исчисление высказываний
Подробно рассмотрим формальную теорию исчисления высказываний (ИВ). Нашей целью будет обоснование адекватности этой теории, описанной формально в § 1 главы III, неформальной алгебре высказыв
A ® B)) дедукция
8 · (B ® (A ® B)) (И1)
9 · ((® (A ® B)) ® ((B ® (A ® B)) ® ((
Правило опровержения
Упражнение:Докажите формально остальные основные равносильности.
6. Доказуемость и тождественная истинность формул. Теперь уже можно доказать основной рез
Азы наивной теории множеств
В фундаменте современных математических теорий лежат понятия множества, элемента множества, отношения принадлежности элемента множеству. Интуитивный смысл этих понятий ясен: под множеством п
Аксиоматика Цермело-Френкеля теории множеств
В § 1 приложения были даны основные понятия теории множеств. Однако развиваемая на этом основании Г. Кантором наивная теория множеств столкнулась в конце XIX в. с трудностями. Вот –
Кущи или адские дебри ?
Попытаемся неформально проанализировать общематематические достижения в задаче обоснования теории множеств. Сразу нужно отметить, что замкнутого изложения основ формальная теория множеств не даёт.
Л И Т Е Р А Т У Р А
А) ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1.Глухов М.М., Козлитин О.А., Шапошников В.А., Шишков А.Б. Задачи и упражнения по математической логике, дискретным функциям и тео
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
N – множество всех натуральных чисел,
Q – множество всех рациональных чисел,
R – множество в
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
аксиома объёмности................................................. 150
аксиома (неупорядоченной) пары..............................
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов