Хотя настоящее учебно-методическое пособие предназначено, в первую очередь, для студентов физико-математических специальностей пединститутов, оно может быть использовано и при чтении курса математической логики для специалистов, связанных с информатикой. Автор надеется, что предлагаемое пособие заинтересует всех, кто не равно дышит к математике, проблемам её обоснования, или просто желает расширить свой кругозор. С этой целью некоторые разделы курса изложены более широко, чем этого требует программа, а материал каждого параграфа подкреплён примерами и упражнениями для самостоятельного решения, которые помогут вдумчивому читателю научиться решать стандартные задачи по математической логике. Качественное изучение математической логики даёт выпускнику педагогического вуза возможность обучения школьников методам строгих математических рассуждений, что особенно важно в условиях отмечающегося в последнее время неуклонного снижения уровней логического мышления и доказательности в математических рассуждениях школьников.
Первые две главы “Алгебра высказываний” и “Алгебра предикатов” содержат традиционный материал по неформальному изложению исчислений высказываний и предикатов. Следует отметить, что приводимые в главе I § 8 приложения этих теорий представляют интерес для всех, кто имеет отношение к программированию.
Большое внимание уделено в третьей главе различным вопросам построения формальных аксиоматических теорий. Достаточно подробно (с полными доказательствами) рассматривается теория исчисления высказываний. Теории предикатов и формальной арифметики обсуждаются в общих чертах. В приложении неформально излагается формальная теория множеств (§ 2) и обсуждаются некоторые проблемы аксиоматизации теории множеств (§ 3). Первый параграф приложения содержит азы наивной теории множеств для тех, кто столкнётся с трудностями теоретико-множественного характера в главе II.
Автор выражает благодарность всему коллективу кафедры алгебры, геометрии и ТиМОМ ТГСПА им. Д.И. Менделеева за поддержку и заинтересованность в этой работе и благодарен рецензентам, обратившим внимание на некоторые неточности и опечатки. Особая благодарность – д.ф.-м.н., профессору Е.М. Вечтомову, без участия которого этот труд не был бы завершён. Автор будет признателен всем, кто пожелает высказать любые конструктивные замечания и пожелания по тексту данного пособия.
ГЛАВА I. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ