Основные определения
Вектор – упорядоченная пара точек А, В. Обозначаем вектор . При этом первую точку А будем называть началом, а вторую В – концом вектора. Длину отрезка АВ, или, что то же самое, расстояние между точками А и В будем называть длиной вектора и обозначать.
Векторы и будем называть равными, если существует параллельный перенос, отображающий А в С, В в D. При этом будем использовать запись =.
Совокупность всех равных между собой векторов будем называть свободным вектором. Обозначается свободный вектор строчными буквами латинского алфавита со стрелкой наверху: , и т.д. Можно использовать также запись вида =, =и т.д.
Примечание к определению 3. Аналогичная ситуация возникает при введении рациональных чисел: вначале дается определение рациональной дроби, затем – условие равенства дробей, и наконец, констатируется, что все равные между собой дроби представляют одно и то же рациональное число. Например: число можно представить и как , и, наконец, .
Пусть = и , тогда суммой векторов и будем называть вектор . Обозначим сумму + или + .
Векторы и будем называть сонаправленными, если существует параллельный перенос, отображающий луч АВ в луч CD.
Если l – действительное число и – произвольный вектор, то произведением вектора на число l назовем вектор длины , сонаправленный с , если l > 0, и противоположно-направленный с , если l < 0.
Пусть дано множество точек плоскости. Если l1 и l2 - две пересекающиеся прямые и А – точка этой плоскости, то проекцией точки А на прямую l2 параллельно l1 считаем точку А', являющуюся пересечением l2 и прямой, которая проходит через А параллельно l1.
Если – вектор плоскости, то проекцией вектора на прямую l2 параллельно l1 будем называть вектор , где А' и
В' – проекции А и В на l2 параллельно l1.
Пусть в пространстве заданы прямая l и плоскость p, имеющие одну общую точку. Если А – произвольная точка пространства и l', p' – прямая и плоскость, проходящие через А и параллельные соответственно l и p , то пересечения и именуем соответственно проекцией A на параллельно l и проекцией А на l параллельно .
Пусть – вектор пространства, l – прямая и – плоскость, пересекающиеся в точке. Проекцией вектора на плоскость параллельно l назовем вектор , где А', В' – соответствующие проекции точек А и В.
Основные утверждения
Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:
1) каковы бы ни были , ;
2) для любых и ;
3) существует вектор такой, что ;
4) для любого вектора существует вектор такой, что (вектор будем обозначать через -и называть противоположным вектору ).
Операция умножения векторов на число обладает следующими свойствами:
1) 1*=,
2) a(b)=(ab),
3) (a+b)=a+b,
4) a(+)=a+a.
Проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых. Проекция произведения вектора на число равна произведению проекции на это же число.
Задача 1 (с решением). Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD. Выразить через векторы и векторы , являющиеся сторонами этого параллелограмма.
Решение.