Реферат Курсовая Конспект
Прямые в пространстве - раздел Математика, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Основные Типы Уравнений Прямой Линии...
|
Основные типы уравнений прямой линии
Векторно-параметрическое уравнение прямой линии:
. (12)
Каноническое уравнение прямой:
(13)
Отметим, что одновременно l, m, n не могут обратиться в 0.
Уравнения (13) можно рассматривать как сокращенную форму записи, например, такой системы:
Связкой прямых будем называть совокупность прямых пространства, проходящих через фиксированную точку, либо попарно параллельных.
Прямую L назовем общим перпендикуляром к прямым L1 и L2, если она перпендикулярна к каждой прямой и с обеими пересекается.
Основные утверждения
Пусть – радиус-вектор фиксированной точки прямой l, a – направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение
,
где t - параметр, принимающий действительные значения, будет уравнением прямой L.
Пусть прямая L в пространстве проходит через точку параллельно вектору . Тогда ее координатно-параметрические и канонические уравнения, соответственно, имеют вид
x=x0+lt, y=y0+mt, z=z0+nt,
Если – направляющий вектор прямой L в пространстве и – радиус-вектор фиксированной точки прямой L, то уравнение
является уравнением прямой L.
Если прямая L в пространстве является пересечением двух плоскостей, заданных общими уравнениями, т.е. ее точки удовлетворяют системе уравнений
то в качестве направляющего вектора прямой можно выбрать следующий вектор:
Утверждение 5. Если прямая L на плоскости задана нормальным уравнением и – произвольная точка плоскости, то расстояние от точки М до прямой L определяется формулой
.
Пусть в пространстве точка М имеет координаты , прямая L проходит через точку параллельно вектору , система координат прямоугольная. Тогда расстояние от точки М до прямой L будет следующим:
.
Пусть в пространстве заданы две непараллельные прямые L1 и L2,, имеющие направляющие векторы и , проходящие через точки и соответственно. Система координат прямоугольная. Тогда уравнение общего перпендикуляра задается системой уравнений:
, ,
где
.
Если L1 и L2 – скрещивающиеся прямые, которые проходят через точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) параллельно векторам и соответственно, то расстояние между прямыми L1 и L2 можно определить по формуле , где ,
.
Если П – алгебраическая поверхность (линия L) порядка k и l – прямая, то число точек пересечения поверхности П (линии L) и прямой l не превосходит k.
Задача 82. Найти необходимые и достаточные условия, при которых прямые и
1) пересекаются (т.е. имеют единственную общую точку);
2) скрещиваются;
3) параллельны, но не совпадают;
4) совпадают.
Задача 83. Даны две прямые. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения.
1) и
2) и
3) и
4) и
5) и
Задача 84. [2,6.28] Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной прямым и
.
Задача 85 (с решением). Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (1,1,1) и параллельной плоскостям x+3y–4z+1 = 0, x= 0, а так же записать векторно-параметрическое и параметрическое уравнение этой прямой.
Решение. Для того чтобы написать каноническое уравнение данной прямой, надо знать точку, через которую она проходит, и направляющий вектор. Направляющий вектор находим по формуле
.
Каноническим уравнением данной прямой будет уравнение
,
векторно-параметрическим , где =(1,1,1), = (0, –4, –3), параметрическим x = 1, y = 1–4t , z = 1-3t.
Задача 86(с решением). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки (3, 2, 1) на прямую .
Решение. Искомый перпендикуляр лежит в плоскости π, ортогональной заданной прямой l, направляющий вектор которой равен . Поэтому уравнение плоскости π имеет вид
2x+4y+z+D=0,
где константу D определяем из условия, что π:
есть искомое уравнение плоскости. Основание перпендикуляра имеет координаты (), удовлетворяющие соотношениям
,
2x+4y+z-15=0,
откуда получаем ().
Следовательно, искомая прямая описывается соотношениями
или
.
Задача 87 (с решением). Найти проекцию прямой
2x+3y+4z+5=0,
x-6y+3z-7=0
на плоскость 2x+2y+z–15=0.
Решение. Искомая проекция может быть задана как прямая пересечения плоскости π2x+2y+z+5=0 с ортогональной к ней плоскостью π, проходящей через заданную прямую l. Последнее означает, что плоскость π является элементом пучка, образованного плоскостями π2x+3y+4z+5=0 и π2 x-6y+3z-7=0. Следовательно, уравнение π имеет вид
Условие ортогональности плоскостей π и πдает
откуда
и уравнение плоскости π есть 4x-9y+10z-9=0, а уравнение ортогональ-ной проекции
2x+2y+z-15=0,
4x–9y+10z–9=0.
Задача 88. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую, заданную уравнениями:
1)
2)
Задача 89. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и пересекающей две данные прямые:
1)и
2) и
Задача 90. Найти угол между прямыми:
1) и
2)и
Задача 91. Плоскости являются соответственно плоскостями новой системы координат, а точка имеет в новой системе координаты (1,1,1).
1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты в новой системе координат.
2) Составить в новой координатной системе канонические уравнения прямой, которая в исходной системе задается уравнениями .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Федеральное государственное образовательное учреждение... Высшего профессионального образования... Сибирский федеральный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Прямые в пространстве
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов