рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Основные типы нераспадающихся кривых второго порядка на плоскости

Основные типы нераспадающихся кривых второго порядка на плоскости - раздел Математика, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ     Основные Определения У...

 

 

Основные определения

Уравнение второго порядка в декартовой системе координат (x,y)

называется уравнением кривой второго порядка.

Уравнение второго порядка в прямоугольной системе координат

называется каноническим уравнением эллипса.

Уравнение второго порядка в прямоугольной системе координат

называется каноническим уравнением гиперболы.

Уравнение второго порядка в прямоугольной системе координат

называется каноническим уравнением параболы.

По определению.

Фокусы эллипса: 2 точки с координатами (-с,0), (с,0), .

Эксцентриситет эллипса:

Директрисы эллипса: 2 прямые , .

Прямые – асимптоты гиперболы.

Фокусы гиперболы: 2 точки с координатами (-с, 0), (с, 0), с2 = а2 + b2.

Эксцентриситет гиперболы: .

Директрисы гиперболы: 2 прямые ,

Фокус параболы: 1 точка с координатой (р/2,0).

Эксцентриситет параболы .

Директриса параболы: одна прямая .

Основные утверждения.

 

 

Эллипс есть множество точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное число 2a, большее, чем расстояние 2c между фокусами.

Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса эллипса к расстоянию от той же точки до ближайшей директрисы было равно эксцентриситету эллипса .

Гипербола есть множество точек, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное число 2а, большее, чем расстояние 2c между фокусами.

Для того, чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса эллипса к расстоянию от той же точки до ближайшей директрисы было равно эксцентриситету гиперболы .

Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к 0.

Парабола есть множество точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости (фокуса) равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус (директриса).

Для того, чтобы точка лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса параболы к расстоянию от той же точки до директрисы было равно эксцентриситету параболы .

Уравнение касательной к эллипсу в точке (x00), принадлежащей эллипсу, дается формулой

Уравнение касательной к гиперболе в точке 00), принадлежащей гиперболе, дается формулой

Уравнение касательной к параболе в точке (х00), принадлежащей параболе, дается формулой

yy0 =р(х+х0).

 

Задача 92. Найти длины полуосей, эксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис эллипса:

1)

Задача 93. В данной системе координат эллипс имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если:

1) расстояние между вершинами, лежащими на большой оси, равно 16, а расстояние между фокусами равно 10;

2) хорда, соединяющая две вершины эллипса, имеет длину 5 и наклонена к его большой оси под углом

3) фокусами эллипса являются точки , а точка принадлежит эллипсу;

4) фокусами эллипса являются точки , а директрисами являются прямые .

Задача 94. Вычислить эксцентриситет эллипса, если:

1) расстояние между фокусами является средним арифметическим длин осей;

2) отрезок между фокусом и дальней вершиной большой оси делится вторым фокусом в отношении 2:1;

3) расстояние от фокуса до дальней вершины большой оси в 1.5 раза больше расстояния до вершины малой оси.

Задача 95. В данной системе координат гипербола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если:

1) расстояние между вершинами равно 10, а расстояние между фокусами равно 12;

2) длина вещественной оси равна 1, а точка (1,3) принадлежит гиперболе;

3) директрисами гиперболы являются прямые , а точка (-9,4) принадлежит гиперболе.

Задача 96. Вычислить эксцентриситет гиперболы, если:

1) ее полуоси равны;

2) угол между асимптотами, содержащий фокус, равен ;

3) асимптотами гиперболы являются прямые .

Задача 97. В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если:

1) точка (5, –5) принадлежит параболе;

2) расстояние от фокуса до директрисы равно 12;

3) длина хорды, проходящей через фокус под углом к оси параболы, равна 18.

Задача 98. Найти множество точек, являющихся серединами хорд параболы , параллельных прямой

Задача 99. Составить уравнение касательной к кривой:

1) в точке

2) в точке

3) в точке ;

4) в точке ;

5) в точке

6) в точке

Задача 100. При каком необходимом и достаточном условии прямая касается:

1) эллипса ;

2) гиперболы

3) гиперболы

4) гиперболы ;

5) параболы

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Федеральное государственное образовательное учреждение... Высшего профессионального образования... Сибирский федеральный университет...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Основные типы нераспадающихся кривых второго порядка на плоскости

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Аксиоматика Гильберта и векторная алгебра
Основные определения Вектор – упорядоченная пара точек А, В. Обозначаем вектор . При этом первую точк

Базис, координаты векторов
Основные определения Выражение вида будем называть линейной комбинацией векторов

Системы координат на плоскости и в пространстве
    Основные определения     Будем говорить, что задана декартова система координат (на плоскости или в пространстве), если з

Проекции. Скалярное произведение векторов
  Основные определения     Число, равное будем называть скалярным произведением ве

Векторное и смешанное произведение векторов
  Основные определения     Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворо

Замена декартовой системы координат
    Основные утверждения     Пусть в пространстве задана декартова система координат с началом в точке О и базисом

Общее понятие об уравнениях линий и поверхностей
    Основные определения     Уравнение

Уравнения прямых на плоскости
    Основные типы уравнений прямой линии     Векторно-параметрическое уравнение прямой линии:

Плоскость в пространстве
    Основные типы уравнений плоскости     Векторно-параметрическое уравнение плоскости:

Прямые в пространстве
    Основные типы уравнений прямой линии Векторно-параметрическое уравнение прямой линии:

Канонические уравнения поверхностей второго порядка
    Основные определения Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение

Преобразования плоскости
    Основные определения Отображение множества X в множество У – это правил

Нахождение пересечения двух отрезков
Пусть А, В, С и D - точки на плоскости. Тогда направленные отрезки АВ и CD задаются следующими параметрическими уравнениями:

Проверка принадлежности точки многоугольнику
Для решения этой задачи выпустим из точки А(х,у) произвольный луч и найдем количество точек пересечения этого луча с границей мно

Построение выпуклой оболочки
Пусть S - конечный набор точек на плоскости. Выпуклой оболочкой набора S называется пересечение всех выпуклых многоугольников, содержащих S

Построение триангуляции Делоне
Рассмотрим задачу триангуляции набора точек S на плоскости. Все точки набора S можно разбить на граничные - точки, лежащие на границе выпуклой оболочки

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги