Основные типы нераспадающихся кривых второго порядка на плоскости

 

 

Основные определения

Уравнение второго порядка в декартовой системе координат (x,y)

называется уравнением кривой второго порядка.

Уравнение второго порядка в прямоугольной системе координат

называется каноническим уравнением эллипса.

Уравнение второго порядка в прямоугольной системе координат

называется каноническим уравнением гиперболы.

Уравнение второго порядка в прямоугольной системе координат

называется каноническим уравнением параболы.

По определению.

Фокусы эллипса: 2 точки с координатами (-с,0), (с,0), .

Эксцентриситет эллипса:

Директрисы эллипса: 2 прямые , .

Прямые – асимптоты гиперболы.

Фокусы гиперболы: 2 точки с координатами (-с, 0), (с, 0), с² = а² + b².

Эксцентриситет гиперболы: .

Директрисы гиперболы: 2 прямые ,

Фокус параболы: 1 точка с координатой (р/2,0).

Эксцентриситет параболы .

Директриса параболы: одна прямая .

Основные утверждения.

 

 

Эллипс есть множество точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное число 2a, большее, чем расстояние 2c между фокусами.

Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса эллипса к расстоянию от той же точки до ближайшей директрисы было равно эксцентриситету эллипса .

Гипербола есть множество точек, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное число 2а, большее, чем расстояние 2c между фокусами.

Для того, чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса эллипса к расстоянию от той же точки до ближайшей директрисы было равно эксцентриситету гиперболы .

Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к 0.

Парабола есть множество точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости (фокуса) равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус (директриса).

Для того, чтобы точка лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса параболы к расстоянию от той же точки до директрисы было равно эксцентриситету параболы .

Уравнение касательной к эллипсу в точке (x₀,у₀), принадлежащей эллипсу, дается формулой

Уравнение касательной к гиперболе в точке (х₀,у₀), принадлежащей гиперболе, дается формулой

Уравнение касательной к параболе в точке (х₀,у₀), принадлежащей параболе, дается формулой

yy₀ =р(х+х₀).

 

Задача 92. Найти длины полуосей, эксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис эллипса:

1)

Задача 93. В данной системе координат эллипс имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если:

1) расстояние между вершинами, лежащими на большой оси, равно 16, а расстояние между фокусами равно 10;

2) хорда, соединяющая две вершины эллипса, имеет длину 5 и наклонена к его большой оси под углом

3) фокусами эллипса являются точки , а точка принадлежит эллипсу;

4) фокусами эллипса являются точки , а директрисами являются прямые .

Задача 94. Вычислить эксцентриситет эллипса, если:

1) расстояние между фокусами является средним арифметическим длин осей;

2) отрезок между фокусом и дальней вершиной большой оси делится вторым фокусом в отношении 2:1;

3) расстояние от фокуса до дальней вершины большой оси в 1.5 раза больше расстояния до вершины малой оси.

Задача 95. В данной системе координат гипербола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если:

1) расстояние между вершинами равно 10, а расстояние между фокусами равно 12;

2) длина вещественной оси равна 1, а точка (1,3) принадлежит гиперболе;

3) директрисами гиперболы являются прямые , а точка (-9,4) принадлежит гиперболе.

Задача 96. Вычислить эксцентриситет гиперболы, если:

1) ее полуоси равны;

2) угол между асимптотами, содержащий фокус, равен ;

3) асимптотами гиперболы являются прямые .

Задача 97. В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если:

1) точка (5, –5) принадлежит параболе;

2) расстояние от фокуса до директрисы равно 12;

3) длина хорды, проходящей через фокус под углом к оси параболы, равна 18.

Задача 98. Найти множество точек, являющихся серединами хорд параболы , параллельных прямой

Задача 99. Составить уравнение касательной к кривой:

1) в точке

2) в точке

3) в точке ;

4) в точке ;

5) в точке

6) в точке

Задача 100. При каком необходимом и достаточном условии прямая касается:

1) эллипса ;

2) гиперболы

3) гиперболы

4) гиперболы ;

5) параболы