Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Основные определения

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение

Эллиптическим цилиндром называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение

Гиперболическим цилиндром называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение

Параболическим цилиндром называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение

у² = 2рх.

Основные утверждения

Утверждение 1. Общее уравнение поверхности второго порядка в общей декартовой системе координат

имеет в канонической прямоугольной системе координат один из 17 канонических видов. из которых 8 – перечисленные поверхности, остальные представляют собой плоскости (2 или 1), линии, точки или пустое множество.

Задача 103. (с решением). Вывести уравнение сферы с центром в точке C(x_o, y_o, z_o радиуса r.

Решение. Сфера есть множество точек, находящихся на расстоянии r от точки C(x_o, y_o, z_o). Введем в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Точка M(x, y, z) лежит на сфере S тогда и только тогда, когда длина отрезка CM равна r или тогда и только тогда, когда CM²=r²^.Расстояние между точками M и C равно

Поэтому уравнение окружности будет иметь вид

В частности, уравнение сферы радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

.M(x,y,z)