Преобразования плоскости

Основные определения

Отображение множества X в множество У – это правило, которое каждому элементу сопоставляет единственный элемент, называемый образом элемента х при отображении . Множество X называется областью определения, а множество У - областью значений отображения . Совокупность f(X) образов всех элементов называется множеством значений отображения f (образом множества X при отображении f).

Отображение называется преобразованием множества X. Ограничением отображения на подмножестве называется отображение совпадающее с f на М.

Отображение называется вложением (или инъективным отображением), если из следует Отображение f называется наложением (или сюръективным отображением), если . Отображение f называется взаимно однозначным отображением X на Y (или биективным отображением), если оно является вложением и наложением.

Произведением отображений и называется отображение , определяемое равенством . Произведение gf определено, если множество значений отображения f входит в область определения отображения g.

Тождественное преобразование i множества X определяется равенством i(x) = х для любого элемента .

Отображение называется обратным к отображению и обозначается , если для любых , справедливы равенства . Обратное отображение существует, если f является взаимно однозначным: , где х - единственный элемент из X, такой, что f(x) = y.

Прообразом элемента (в геометрии - точки) при отображении называется любой элемент такой, что f(x) = y. Полным прообразом множества называется совокупность всех прообразов всех элементов из S.

Точка называется неподвижной точкой преобразования , если f(x) = х. Множество называется неподвижным относительно преобразования f, если все его точки неподвижны. Множество M называется инвариантным относительно преобразования f, если для любой точки . также . Любое неподвижное множество инвариантно, обратное неверно.

В задачах этого занятия угол поворота плоскости при заданном базисе на плоскости отсчитывается в направлении кратчайшего поворота от первого базисного вектора ко второму.

Задача 114. Дано линейное преобразование числовой прямой , (a,b – действительные числа). Доказать, что

1) f взаимнооднозначно тогда и только тогда, когда ;

2) f сохраняет направление векторов на прямой при и меняет на противоположное при .

3) при образом интервала длины является интервал длины .

Задача 115. Написать формулу, задающую линейное преобразование интервала на интервал числовой прямой.

Задача 116. Преобразование f плоскости задано в прямоугольной системе координат формулами: .

1) Является ли преобразование f а): наложением; б): взаимно однозначным?

2) Найти полный прообраз произвольной точки плоскости .

Задача 117. Написать формулу, задающую линейное отображение интервала (a,b) на интервал (с, д) числовой прямой.

Задача 118. Найти радиус-вектор образа произвольной точки М(г) при данном преобразовании плоскости:

1) гомотетия с центром в точке и коэффициентом ]

2) центральная симметрия относительно точки ;

3) параллельный перенос на вектор ;