Базис, координаты векторов
Основные определения
Выражение вида 
будем называть линейной комбинацией векторов 
с коэффициентами 
. Если все коэффициенты линейной комбинации равны 0, то будем называть ее тривиальной линейной комбинацией.
Система векторов называется линейно зависимой, если существует некоторая нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору, и линейно независимой – в противном случае.
Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы равен линейной комбинации остальных векторов.
Будем говорить, что векторы 
и 
коллинеарны, если прямые АВ и CD параллельны.
Назовем векторы 
,
,…,
компланарными, если существует плоскость 
, которая параллельна одновременно всем прямым А1B1 , А2B2 ,...., АkBk .
Базисом на прямой назовем ненулевой вектор, лежащий на этой прямой. В некоторых случаях базисный вектор прямой будем называть направляющим вектором этой прямой.
Базисом на плоскости назовем упорядоченную пару неколлинеарных векторов.
Базисом в пространстве будем называть упорядоченную тройку некомпланарных векторов.
Если – базис совокупности векторов (пространства, плоскости или прямой) и 
то числа 
называются координатами вектора в заданном базисе.
Примечание: Отметим, что в соответствии с определением координаты вектора в пространстве составляют упорядоченную тройку чисел, координатами вектора плоскости является упорядоченная пара чисел и координатой вектора прямой является единственное число.
Задача 7. Доказать утверждения: 1) конечная система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима; 2) конечная система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.
Задача 8. Даны три вектора 
. Найти координаты векторов 
, 
.
Задача 9. Проверить, что векторы 
и 
образуют базис на плоскости. Найти координаты векторов 
и 
в этом базисе.
Задача 10. Проверить, что векторы 
, 
и 
образуют базис в пространстве. Найти координаты векторов 
, 
и 
в этом базисе.
Задача 11. В параллелограмме 
точка 
- середина отрезка 
и 
– точка пересечения диагоналей. Принимая за базисные векторы и 
, найти в этом базисе координаты векторов 
.
Задача 12. Дан правильный шестиугольник 
. Принимая за базисные векторы и 
, найти в этом базисе координаты векторов 
.
Задача 13. В треугольнике 
проведена биссектриса . Найти координаты вектора 
в базисе, образованном векторами и 
.