Системы координат на плоскости и в пространстве

 

 

Основные определения

 

 

Будем говорить, что задана декартова система координат (на плоскости или в пространстве), если задан базис и зафиксирована некоторая точка О, называемая началом координат.

Декартовыми координатами точки М будем называть координаты вектора в указанном базисе.

Будем говорить, что нам задана полярная система координат на плоскости, если на плоскости зафиксирован некоторый луч с началом в точке О. Полярными координатами точки М плоскости будем называть пару чисел (r,j) где и j - угол между полярной осью и радиус-вектором .

Пусть в пространстве зафиксированы плоскость p, находящиеся на ней точка О и луч ОК, и ось OZ, перпендикулярная плоскости p. Цилиндрическими координатами точки М будем называть упорядоченную тройку чисел где - полярные координаты ортогональной проекции точки М на плоскость p и z - координата на оси OZ ортогональной проекции точки М на эту ось.

Пусть в пространстве зафиксирована плоскость p с заданным на ней лучом ОК и перпендикулярный к p луч ОН. Тогда сферическими координатами точки М будем считать упорядоченную тройку чисел , где – длина радиус-вектора , – угол между осью ОК и ортогональной проекцией на плоскость p, и –угол между осью ОН и вектором .

Будем говорить, что точка С делит отрезок АВ в отношении l, если АC = lСВ.

Если – базис заданного множества векторов (плоскости или пространства) и – второй базис в этом же множестве, то матрицей перехода от первого ко второму базису будем называть матрицу , где есть коэффициенты разложения элементов второго базиса по первому базису.

 

 

Основные утверждения

 

 

Если прямоугольную декартову систему координат на плоскости выбрать согласованной с полярной, то полярные и декартовы координаты точки М будут связаны соотношениями: или

Если прямоугольную декартову систему координат в пространстве выбрать согласованной с цилиндрической, то справедливы соотношения: x = r cos, y = r sin, z = Z, где – цилиндрические координаты точки М.

Если декартову прямоугольную систему координат выбрать согласованной со сферической, то справедливы следующие формулы, связывающие сферические и декартовы координаты:

x =sincos, y =sinsin, z =cos,

Если точки и заданы своими координатами в декартовой системе координат, то вектор имеет координаты .

Если точка делит отрезок АВ в отношении l, то

Пусть в точках , радиус-векторы которых со­ответственно, находятся массы . Тогда радиус-вектор центра тяжести

Обратно, если задан радиус-вектор центра тяжести и число точек п = 3 в случае их расположения на плоскости или п = 4 в случае пространства, то массы могут быть определены с точностью до некоторого множителя k. Отметим, что в сформулированном утверждении можно допустить и отрицательные значения чисел m_i, в этом случае центр тяжести находится вне многоугольника.

Задача 14. Дан правильный шестиугольник . Принимая за начало координат вершину , а за базисные векторы и , найти координаты вершин шестиугольника и его центра.

Задача 15. Дан параллелепипед . Принимая за начало координат вершину , а за базисные векторы и , найти координаты:

1) вершин и ;

2) точек и - середин ребер и соответственно;

3) точек и пересечения диагоналей граней и соответственно;

4) точки пересечения диагоналей параллелепипеда.

Задача 16. Даны две различные точки , . Найти координаты:

1) точки , лежащей на отрезке и такой, что ;

2) точки , лежащей на прямой вне отрезка и такой, что .

Задача 17. [2,1.32] В точках, имеющих радиус–векторы , сосредоточены массы . Найти радиус–вектор центра тяжести этой материальной системы.

Задача 18. Один из концов отрезка находится в точке , его серединой служит точка . Найти другой конец отрезка. Система координат аффинная.

Задача 19. Даны вершины треугольника: и . Найти третью вершину , зная, что середина стороны лежит на оси , а середина стороны на плоскости . Система координат аффинная.

Задача 20. Дан правильный шестиугольник , длина стороны которого равна 1. Приняв за полюс вершину , за положительное направление полярной оси – направление вектора , а за положительное направление отсчета углов – направление кратчайшего поворота от к , определить в этой системе полярные координаты вершин шестиугольника и его центра.

Задача 21. Относительно полярной системы координат даны точки , , , . Какие координаты будут иметь эти точки, если повернуть полярную ось вокруг полюса в положительном направлении на угол ?

Задача 22. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на шаре радиуса 1, зная ее широту и долготу .

Задача 23. Найти цилиндрические координаты точек по их прямоугольным координатам: