Основные определения
Число, равное будем называть скалярным произведением векторов и , обозначая его (,).
Примечание. Скалярное произведение является числовой функцией двух векторных аргументов.
Система векторов называется ортогональной, если скалярное произведение любых двух векторов и , при равно нулю.
Ортогональная система векторов называется ортонормированной, если векторы этой системы имеют единичную длину.
Основные утверждения
Скалярное произведение как функция двух векторных аргументов обладает следующими свойствами:
1) - симметричность;
2) - линейность;
3) – положительная определенность.
Обратно, любая действительная функция двух векторных аргументов на плоскости или в пространстве, удовлетворяющая свойствам (1)-(3) совпадает со скалярным произведением.
Для любых двух векторов и справедливы утверждения:
1) (отметим, что нулевой вектор будем считать перпендикулярным ко всем векторам);
2)
3) , здесь - угол между векторами и ;
4) если - ортогональная проекция вектора на ненулевой вектор , то;
5) если - ортонормированный базис и координатные строчки векторови в этом базисе и соответственно, то
Если – ортонормированный базис и – произвольный вектор, то
Задача 24. Дан равносторонний треугольник , длины сторон которого равны 1. Вычислить выражение
Задача 25. В треугольнике проведены медианы . Вычислить выражение
Задача 26. Найти скалярное произведение векторов и , если:
1) ;
2) ;
3) ;
4) и сонаправлены;
5) и противоположно направлены.
Задача 27. Найти скалярное произведение векторов и , заданных своими координатами:
1) ;
2) ;
3) .
Задача 28. Найти угол между векторами и , заданными своими координатами:
1) ;
2)
Задача 29. Найти расстояние между точками и , заданными своими координатами:
1)
2)
Задача 30. Дан вектор . Найти ортогональную проекцию вектора на прямую, направление которой определяется вектором , и ортогональную составляющую вектора относительно этой прямой, если вектор имеет координаты:
Задача 31. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения , а также его частного решения, коллинеарного вектору :
1) в плоском случае;
2) в пространственном случае.
Задача 32. Дан произвольный тетраэдр . Доказать: если перпендикулярны ребра и и ребра и , то ребра и также перпендикулярны.
Задача 33. Найти сумму векторов, являющихся ортогональными проекциями вектора на стороны квадрата.
Задача 34. Найти из условия , где – некомпланарные векторы.