Реферат Курсовая Конспект
Общее понятие об уравнениях линий и поверхностей - раздел Математика, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Основные Определения ...
|
Основные определения
Уравнение назовем общим уравнением линии L на плоскости (поверхности p в пространстве), если точка М(х,у) (M(x,y,z)) в том и только в том случае принадлежит линии L (поверхности p), когда ее координаты удовлетворяют заданному уравнению.
Параметрическими уравнениями линии L на плоскости будем называть систему уравнений
(1)
где и - действительные функции действительной переменной t такие, что точка М(х,у) принадлежит линии L тогда и только тогда, когда существует t, удовлетворяющее уравнениям (1). Для задания параметрических уравнений линии в пространстве к записанным двум уравнениям необходимо добавить уравнение для третьей координаты .
Параметрическими уравнениями поверхности p в пространстве будем называть систему уравнений
z=(2)
где и – действительные функции двух действительных переменных и и v такие, что точка M(x,y,z) принадлежит поверхности p тогда и только тогда, когда существуют u и v, удовлетворяющие уравнениям (2).
Поверхность S называется поверхностью вращения с осью d , если она составлена из окружностей, центры которых лежат на прямой d , и лежат в плоскости , перпендикулярной d .
Поверхность, состоящую из некоторого семейства параллельных прямых, будем называть цилиндром, прямые из этого семейства – образующими цилиндра, а линию пересечения этой поверхности и плоскости, не параллельной образующим, назовем направляющей этого цилиндра.
Поверхность, состоящую из прямых, проходящих через фиксированную ее точку, назовем конусом.
Линию L (поверхность p) назовем алгебраической, если в некоторой декартовой системе координат ее уравнение является алгебраическим, т.е. имеет вид
где , – действительные, a , – целые неотрицательные числа.
При этом будем называть порядком линии L (поверхности p).
Основные утверждения
Уравнение F(x,y) = 0 задает в пространстве цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси OZ.
Если функция F(x,y,z) удовлетворяет условию (является однородной функцией степени n), то уравнение F(x,y,z) = 0 задает коническую поверхность с вершиной в начале координат.
Пусть в плоскости (x,z) кривая задана уравнением . Тогда уравнение поверхности, полученной вращением этой кривой вокруг оси OZ, есть .
Если в некоторой декартовой системе координат линия (поверхность) задается алгебраическим уравнением порядка п, то в любой другой декартовой системе координат ее уравнение будет алгебраическим порядка n.
Задача 51. Даны две точки и , расстояние между которыми равно . Найти множество точек, сумма квадратов расстояний от которых до точек и равна при условии, что .
Задача 52. Найти множество точек, для которых квадрат расстояния до точки пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых в раза больше произведения их расстояний до этих прямых.
Задача 53. Вокруг точки вращается луч с постоянной угловой скоростью . По этому лучу движется точка с постоянной скоростью . Составить уравнение линии, описываемой точкой , в полярных координатах, если в начальный момент движения луч совпадает с положительным направлением полярной оси, а точка – с началом координат .
Задача 54. Написать уравнения:
1) плоскостей координат ;
2)плоскостей, проходящих через точку и параллельных плоскостям координат , , ;
3) плоскостей, делящих пополам двугранные углы между координатными плоскостями и и и .
Задача 55. Составить уравнение круглого конуса, основанием которого служит окружность , а вершина находится в точке
Задача 56. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении гиперболы :
1) вокруг ее действительной оси; 2) вокруг ее мнимой оси.
Задача 57. Центр окружности радиуса , плоскость которой перпендикулярна к оси , перемещается по оси с постоянной скоростью . По этой подвижной окружности равномерно перемещается точка так, что луч вращается с постоянной скоростью . Составить параметрические уравнения линии, описываемой точкой , при условии, что в начальный момент движения точка расположена на оси абсцисс.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Федеральное государственное образовательное учреждение... Высшего профессионального образования... Сибирский федеральный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Общее понятие об уравнениях линий и поверхностей
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов