Основные типы уравнений прямой линии
Векторно-параметрическое уравнение прямой линии:
. (3)
Каноническое уравнение прямой линии:
. (4)
Договоримся, что, когда в уравнениях (4) какой-то знаменатель (l или m) равен 0, соответствующий числитель также равен 0. Одновременно все знаменатели обратиться в 0 не могут.
Примечание: Уравнение (4) является одной из форм записи общего уравнения прямой плоскости в пространстве.
Общее уравнение прямой линии:
Ах+Ву+С=0. (5)
Нормальное уравнение прямой линии:
xcos a + y sin a - p = 0. (6)
Заметим, что уравнение (6) есть частный вид уравнения (5) и уравнение (6) можно получить из (5), умножив уравнение (5) на число
Уравнение в отрезках:
является частным случаем уравнения (5).
Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид: .
Пучком прямых линий будем называть совокупность прямых плоскости, проходящих через фиксированную точку, либо попарно параллельных.
Основные утверждения
Пусть – радиус-вектор фиксированной точки
прямой L, а – направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение
где t – параметр, принимающий действительные значения, будет уравнением прямой L.
Пусть на плоскости задана прямая L, проходящая через точку M0(x0,y0) параллельно вектору (l,п). Тогда ее координатно-параметрические уравнения имеют вид
x= x0 + lt, y = y0 + mt.
Общим уравнением прямой на плоскости в произвольной декартовой системе координат будет уравнение вида
Ax + By + С = 0,
где A2 + B2 0.
Пусть – радиус-вектор фиксированной точки прямой L на плоскости и – ненулевой вектор, перпендикулярный к прямой L, тогда уравнение
=0
является уравнением прямой L.
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат и прямая L. Если р - расстояние от начала координат до прямой L, а a- угол между осью ОХ и лучом, перпендикулярным к L и пересекающимся с L, то общее уравнение можно представить в виде
x cos а + у sin а — р = 0.
Если прямая L на плоскости пересекает оси OX, OY в точках (а, 0), (0,b) и а, b 0, то общее уравнение этой прямой можно представить в виде
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат, прямая L составляет с осью ОХ угол и пересекает ось OY в точке (0, b). Тогда общее уравнение прямой можно представить в виде
у = kx + b.
Если на плоскости даны две точки: А(х0, у0) и В(х1,y1), то координатно-параметрические и канонические уравнения прямой (АВ) можно записать так:
x = х0 + (x1 – x0) t, y = у0 + (y1 – y0)t
и
Если прямая L на плоскости задана уравнением Ax+By+С = 0 и координаты вектора а есть (т,п), то
1) вектор будет параллельной прямой L в том и только в том случае, если выполняется условие Am + Вп = 0;
2) вектор (В,—А) будет направляющим вектором прямой L.
Прямые L1 и L2 на плоскости, задаваемые уравнениями A1x+B1y+С1 = 0 и A2x + B2y + С2 = 0, будут параллельны тогда и только тогда, когда существует l такое, что А2 = lA1, В2 = lB1 или
Прямые L1 и L2 совпадают, если А2 = lА1, В2 = lB1, C2 = lC2.
Если A1x + В1y + C1 = 0 и A2x + В2y + C2 = 0 задают две различных прямых на плоскости, то любая прямая этого пучка задается уравнением
a(A1x + B1y + C1) + b(A2x + B2y + C2) = 0,
где a и b - некоторые действительные числа, Три прямые на плоскости
L1 : A1x+B1y+C1=0, L2 : A2x+B2y+C2=0, L3 : A3x+B3y+C3=0
тогда и только тогда принадлежат одному пучку, когда выполняется условие
Если прямая L в плоскости задана в прямоугольных координатах уравнением Ax + By + С = 0, то вектор (A, В) перпендикулярен к прямой L.
Две точки M(x1, y1) и N(x2, y2) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой Ax + By + С = 0 тогда и только тогда, когда числа Ах1 + Ву1 + С1 и Ах2 + Ву2 + С2 имеют противоположные знаки.
Пусть на плоскости в прямоугольной системе координат заданы уравнения А1x + В1y + C1 = 0 и А2x + В2y + C2 = 0 прямых L1 и L2 соответственно. Тогда наименьший из углов между прямыми L1 и L2 можно вычислить по формуле
Задача 58. При каком необходимом и достаточном условии прямые и :
1) пересекаются в единственной точке;
2) параллельны, но не совпадают;
3) совпадают?
Задача 59. Записать уравнение прямой в виде
2) Записать уравнение прямой в параметрической и канонической формах.
3) Найти угловой коэффициент прямой .
Задача 60. Установить, пересекаются, параллельны или совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки пересечения:
1)
2)
3)
4) и
Задача 61. Даны две вершины треугольника (3, –1) и (1, 4) и точка пересечения его медиан (0,2). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон.
Задача 62. Составить уравнения прямых, равноудаленных от трех точек и .
Задача 63.(с решением) Прямая линия на плоскости задана в общей декартовой системе координат уравнением x–3y–2=0. Задать ее в векторно-параметрическом виде, в параметрическом, через угловой коэффициент, как через 2 точки, в отрезках.
Решение. Для векторно-параметрического задания надо знать направляющий вектор и точку, через которую она проходит. За направляющий вектор прямой, заданной общим уравнением Ax+By+C=0, можно взять вектор (–B, A) . В данном случае A=1, B= -3 , поэтому за направляющий вектор берем (3, 1) , за координаты точки, через которую проходит прямая, – любую пару чисел, удовлетворяющую уравнению прямой. Например, положим x = 2 , тогда y = 0 , следовательно, точка (2, 0) лежит на прямой и векторно-параметрическое уравнение прямой есть где = (2,0), =(3, 1). В параметрической форме имеем x = 2 +3t, y = t.Заметим, что для того, чтобы вернуться к исходной записи, надо из этих уравнений исключить параметр t.
Если переписать общее уравнение прямой в виде y = x/3–2/3, то угловой коэффициент k равен 1/3. Для того чтобы написать уравнение прямой, проходящей через 2 точки, надо вычислить еще одну точку, лежащую на данной прямой. Возьмем x = 8 , тогда y = 2.Следовательно, уравнение нашей прямой можно записать также в видеили.
Переписав уравнение в виде , видим, что на осях координат отсекаются отрезки 2 и .
Задача 64 (с решением). Составить уравнение прямых, проходящих через точку (3,1) и образующих с прямой 3x–y–2 = 0 углы в 45o . Система координат прямоугольная.
Решение.
y
l1
135o
l2
A(3,1)
0 45o x
l
Перепишем уравнение прямой l в виде y = 3x-2. Если прямая l образует с прямой l2 угол j1 то с прямой l1 угол p-j1 и, следовательно, угловые коэффициенты для l1 и l2 могут быть найдены из соотношения
,
откуда получаем для k два значения k1 = ½ , k2 = –2. Осталось воспользоваться формулой прямой линии, проходящей через точку (3,1) с угловым коэффициентом ½ и –2: и .
Задача 65. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной прямой:
1)
2)
3)
4)
5)
Задача 66. На прямой найти точку, равноудаленную от точек и
Задача 67. Найти расстояние от точки до прямой, заданной своим уравнением:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Задача 68. Составить уравнения прямых, параллельных заданной прямой
и отстоящих от точки на расстояние .
64. Даны точка и прямая . Найти координаты:
1) проекции точки на прямую;
2) точки , симметричной с относительно прямой.
Задача 69. Даны уравнения сторон треугольника: Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону.
Задача 70. Точки и являются серединами оснований равнобедренной трапеции, а точки и лежат на ее боковых сторонах. Составить уравнения сторон трапеции.
Задача 71. Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми и , внутри которого лежит точка
Задача 72. На плоскости даны три точки и прямая . Составить уравнение этой прямой в новой системе координат .
Задача 73. Составить уравнения сторон квадрата, зная его центр (1,6) и по точке на двух непараллельных сторонах: , .