Уравнение второй степени с действительными коэффициентами и и переменной называется квадратным; его левая часть называется квадратным трехчленом.
Число называется дискриминантом квадратного трехчлена и определяет количество корней квадратного уравнения:
· если , то уравнение имеет два различных корня:
, ;
· если , то уравнение имеет один корень (два совпадающих):
,
· если , то уравнение корней не имеет.
Если квадратный трехчлен имеет корни (быть может, совпадающие), то его можно разложить на множители:
.
Часто при нахождении корней используют теорему Виета: если и – корни квадратного трехчлена , то их сумма и произведение выражаются через коэффициенты следующим образом:
, .
Системы линейных уравнений (СЛУ)
Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют систему вида ( – коэффициенты, и – свободные члены, а и – переменные):
Зная коэффициенты и свободные члены системы, можно исследовать ее на наличие решений и их количество:
· система имеет единственное решение, если ;
· не имеет решений, если и или ;
· имеет бесконечно много решений, если .
При решении СЛУ чаще пользуются следующими методами:
1) метод подстановки: выразить из любого уравнения одну переменную через другую; подставить в другое уравнение вместо этой переменной полученное выражение; решить получившееся уравнение; найти соответствующее значение второй переменной;
2) метод сложения: умножить уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами; сложить почленно левые и правые части уравнений системы; решить получившееся уравнение; найти соответствующее значение второй переменной.