Основные элементарные функции и их графики

x

y

b

k = 0

Линейная функция

Функция , где и – некоторые действительные числа, а – переменная, называется линейной.

x

y

b

k > 0

Область определения линейной функции – все действительные числа, область значений при состоит из одного числа , при – все действительные числа. При функция возрастает, при – убывает, при является постоянной. Графиком линейной функции является прямая, для ее построения достаточно двух точек.

x

y

b

k < 0

По уравнениям линейных функций и можно судить о расположении их графиков. Если , то прямые параллельны; если – перпендикулярны. Угол между прямыми можно найти по формуле: .

Квадратичная функция

Функция , где и – действительные числа и – переменная, называется квадратичной.

Областью определения квадратичной функции является множество действительных чисел. Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой при направлены вверх, а при – вниз. Вершина параболы находится в точке , где , .

a > 0

x

y

D=0

D <0

D>0

a < 0

x

y

D=0

D>0

D<0

Положение параболы относительно оси зависит от дискриминанта, что показано на рисунке.

Степенные функции

·

x

y

Функции вида , , где .

x

y

Область определения этих функций – все действительные числа, область значения функции – множество всех неотрицательных чисел, – все действительные числа. Функция возрастает на всей области определения, а на промежутке убывает и на промежутке возрастает. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси , функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

·

x

y

x

y

Функция .

Области определения и значений – все действительные числа, кроме нуля. Функция на каждом из двух промежутков области определения убывает при и возрастает при . График функции называется гиперболой. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

· Функции вида и , где .

x

y

x

y

Область определения и область значений функции – все действительные числа, а функции – множество всех неотрицательных чисел. Обе функции возрастают на своей области определения. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

Показательная функция

x

y

a > 1

Функция , где – положительное число, не равное 1, называется показательной.

x

y

0 < a < 1

Областью определения показательной функции является множество всех действительных чисел, областью значений – множество всех положительных действительных чисел. Так как , то график показательной функции проходит через точку ; функция монотонно возрастает при и монотонно убывает при .

При решении показательных уравнений и неравенств пользуются свойством монотонности показательной функции:

· ,

· ,

· .

Логарифмическая функция

x

y

a > 1

Функция , где – положительное число, не равное 1, называется логарифмической.

x

y

0 < a < 1

Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных действительных чисел, областью значений – множество всех действительных чисел. Так как , то график показательной функции проходит через точку ; монотонно возрастает при и монотонно убывает при .

При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойством монотонности функции :

· ,

· ,

· .

Тригонометрические функции

· Функция .

x

y

y=sinx

-1

Областью определения является множество всех действительных чисел, областью значений – промежуток . Функция возрастает на , , убывает на , . Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат.

· Функция .

x

y

y=cosx

-1

Областью определения является множество всех действительных чисел, областью значений – промежуток . Функция возрастает на , , убывает на . Функция является четной, график симметричен относительно оси .

· Функция .

x

y

y=tgx

Областью определения является множество всех действительных чисел, кроме точек вида , , областью значений – множество всех действительных чисел. Функция возрастает на каждом промежутке области определения. Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат.

· Функция .

x

y

y=ctgx

Областью определения является множество всех действительных чисел, кроме точек вида , , областью значений – множество всех действительных чисел. Функция убывает на каждом промежутке области определения. Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат.

Обратные тригонометрические функции

·

x

y

y=arcsinx

-1

Функция .

x

y

y=arccosx

-1

Область определения – промежуток , область значений – промежуток . Функция возрастает на всей области определения. Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат.

· Функция .

Область определения – промежуток , область значений – промежуток . Функция убывает на всей области определения.

· Функция .

x

y

y=arctgx

Область определения – множество всех действительных чисел, область значений – промежуток . Функция возрастает на всей области определения. Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат.

·

x

y

y=arcctgx

Функция .

Область определения – множество всех действительных чисел, область значений – промежуток . Функция убывавет на всей области определения.