Производная функции

Производной функции в точке называется число

      или , или                  

– производная суммы равна сумме производных;

· – производная частного;

· – производная сложной функции равна произведению производной внутренней функции на производную внешней.

Физический смысл производной

Пусть – зависимость пути от времени, тогда (ускорение есть производная скорости по времени).

Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

касательная

x

y

Пусть в системе координат изображен график некоторой функции . Касательная к нему в точке есть прямая, задаваемая уравнением:

. Множество всех первообразных функции для , где – произвольная константа, называется интегралом от функции и обозначается .

 

380.На рисунке изображен график производной функции на промежутке . Определите количество касательных к графику функции , угловой коэффициент которых равен 1.

 

381.На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

 

382.На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

 

383.На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

 

384.На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

 

385.На рисунке изображен график функции . Касательная к этому графику, проведенная в точке 4, проходит через начало координат. Найдите отрицательно.

387.На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

388.На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой .

 

Рисунок к задачам № 386, 387, 388

389.На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение?

 

390.На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите точку экстремума функции , принадлежащую отрезку .

 

391.На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек минимума функции , принадлежащих отрезку .

392.На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

 

Рисунок к задачам № 391, 392

393.На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

394.На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество таких чисел , что касательная к графику функции в точке параллельна прямой или совпадает с ней.

 

Рисунок к задачам № 393, 394

395.На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

 

396.Касательная к графику функции параллельна прямой
. Определите абсциссу точки касания.

397.Прямая параллельна касательной к графику функции
. Найдите абсциссу точки касания.

398.Прямая является касательной к графику функции
. Найдите абсциссу точки касания.

399.Прямая касается графика функции . Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

400.Под каким углом пересекаются касательные к графикам функций в точке и в точке

401.Материальная точка движется прямолинейно по закону
𝑥 где – расстояние от точки отсчета в метрах, – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени с.

402.Материальная точка движется прямолинейно по закону
, где – расстояние от точки отсчета в метрах, – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 9 м/с?