Методи розробки нелінійних оптимізаційних моделей економічних систем - раздел Математика, З ДИСЦИПЛІНИ ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ Для Розробкинелінійних Оптимізаційних Моделей Економічних Систем Вирішуються ...
Для розробкинелінійних оптимізаційних моделей економічних систем вирішуються задачі нелінійного програмування.
Нелінійне програмування - математичні методи визначення максимуму або мінімуму функції за наявності обмежень у вигляді нерівностей або рівнянь. Максимізувавши або мінімізувавши функція є прийнятим критерієм ефективності вирішення задачі, відповідним поставленій меті. В цьому випадку цей критерій має назву цільової функції.
Цільова функція задач нелінійного програмування полягає в тому, щоб знайти умови, що обертають цільову функцію в мінімум або максимум. Рішення, що задовольняє умові задачі і відповідне наміченій меті, називається оптимальним планом. Нелінійне програмування служить для вибору найкращого плану розподілу обмежених ресурсів в цілях вирішення поставленої задачі. В загальному вигляді постановка задачі нелінійного програмування зводиться до наступного. Умови задачі представляються за допомогою системи нелінійних рівнянь або нерівностей, що виражають обмеження, які накладається на використання наявних ресурсів.
В загальному вигляді математична модель задачі нелінійного програмування формулюється наступним чином:
f =(x1,x2, …,хn) → min (max). (6.1)
При цьому ці змінні повинні задовольняти обмеженням:
g1(x1,x2, …,хn) ≤b1,
…………………………
gm(x1,x2, …,хn) ≤bm,
gm+1(x1,x2, …,хn) ≥bm+1,
…………………………(6.2)
gk(x1,x2, …,хn) ≥bk,
gk+1(x1,x2, …,хn)=bk+1,
………………………
gp(x1,x2, …,хn)=bp.
x1,x2,…,хn ≥0, де одна із функцій f, gi нелінійна.
Для задач нелінійного програмування немає єдиного методу вирішення. Залежно від виду цільової функції і системи обмежень розроблені спеціальні методи вирішення, до яких відносяться метод множників Лагранжа, градієнтні методи, наближені методи вирішення, графічний метод.
Розглянемо деякі з них. Основні ідеї графічного методу: максимум і мінімум досягається в точках дотику лінії рівня з областю допустимих рішень, яка задається системою обмежень. Наприклад, якщо лінії рівня - прямі, то точки дотику можна визначити, використовуючи геометричне значення похідної.
Розглянемо на прикладах вирішення задач нелінійного програмування.
1. Знайти екстремуми функції L(x1,x2)=x1+2x2 при обмеженнях
, .
Вирішення
Область допустимого вирішення – це частина кола з радіусом 5, яка розташована в I чверті. Знайдемо лінії рівня функції L: x1+2x2=C. Виразимо x2=. Лініями рівня будуть паралельні прямі з кутовим коефіцієнтом, який дорівнює -. Мінімум функції досягається в точці (0;0), Lmin=0, оскільки градієнт (1,2) спрямовано вверх вправо. Максимум досягається в точці дотику кривої х2=та лінії рівня. Оскільки кутовий коефіцієнт дотику до графіку функції дорівнює -, знайдемо координати точки дотику, використовується геометричне значення похідної.
=-; ()=-;
=-; x0=; x2=2.
Тоді L=+2∙2=5.
Відповідь: Мінімум досягається в точці О(0;0), глобальний максимум, дорівнює 5, в точці А(;2) .
2. Знайти екстремуми функції L=(x1-6)2+(x2-2)2 при обмеженні
x1+x2≤8
3 x1+x2 ≤15
x1+x2 ≥1
.
Вирішення
Область допустимого вирішення – багатокутник ABCDE. Лінії рівня представляють собою окружність (x1-6)2+(x2-2)2=С з центром в точці О1(6;2). Візмимо, наприклад, С=36, бачимо, що максимум досягає в точці А(0;4), яка лежить на окружності найбільшого радіусу, який пересікається з областю допустимого вирішення L(A)=(0-6)2+(4-2)2=40. Мінімум - в точці F, яка знаходиться на перетені прямої 3x1+x2 =15 і перпендикуляру до цієї прямої, виведеного із точки О1. Оскільки кутовий коефіцієнт дорівнює -3, то кутовий коефіцієнт перпендикуляру дорівнює . Із рівняння прямої, яка проходить через точку О1 з кутовим коефіцієнтом , отримаємо (x2-2)= (x1-6). Знайдемо координати точки Е
х1-3х2=0
3 x1+x2 =15.
Вирішивши систему, отримаємо Е(4.5; 1.5).
L (E) = (4.5-6)2+ (1.5-2)2=2.5.
Відповідь: Мінімум дорівнює 2.5 досягається в точці (4.5; 1.5), максимум дорівнює 40 в точці (0;4).
3. Знайти екстремуми функції L=(x1-1)2+(x2-3)2 при обмеженнях , .
Вирішення
Область допустимого вирішення є частина кола з центром на початку координат з радіусом 5, яка розташована в I чверті. Лінії рівня – це окружності з центром в точці О1 і радіусі С, оскільки (x1-1)2+(x2-3)2=С. Точка О1 – це розроблена лінія рівня, яка відповідає мінімальному значенню С=0. глобальний максимум досягається в точці А, яка знаходиться на веретену області допустимого вирішення з лінією рівня найбільшого радіусу. При цьому L(A)=(5-1)2+(0-3)2=25.
Відповідь: Мінімум, дорівнює 0, досягається в точці (1;3), максимум, дорівнює 25, - в точці А(5;0).
4. Підприємець вирішив виділити на розширення своєї справи 150 тис. грн. Відомо, якщо на придбання нового устаткування затрачувати х тис. грн., а на зарплату прийнятих працівників у тис. грн., то приріст обсягу продукції складе Q=0.001x0.6·y0.4. Як необхідно розподілити виділені грошові ресурси, щоб приріст обсягу продукції був максимальним.
Вирішення
Цільова функція має вид 0.001x0.6·y0.4 →max при обмеженнях
x+y≤150,
.
Область допустимого вирішення – трикутник. Лінії рівня будуть мати вид 0.001x0.6·y0.4 =С. Виразивши у, отримуємо у=. Оскільки максимум досягається в точці дотику лінії рівня з областю допустимого вирішення, то умова дотику має вигляд =-1. Знайдемо похідну, отримаємо =-1. Виразивши х, отримаємо х=. у==.
Відповідь: Фактори х і у необхідно розподілити у відношенні 2:3.
Сутність методу Лагранжа складається в побудові функції L(x1,x2, …,хn)= f(x1,x2, …,хn)+gi(x1,x2, …,хn), де невідомі постійні, і знаходженні екстремуму функції L.
Має сенс наступна теорія: якщо точка () є точкою умовного екстремуму функції f(x1,x2, …,хn) за умови g(x1,x2, …,хn)=0, то існують значення такі, що точка () є точкою екстремуму функції L().
Розглянемо метод Лагранжа для функції двох змінних.
L(x1,x2,)= f(x1,x2)+g(x1,x2)
Таким чином, для знаходження умовного екстремуму функції f(x1,x2) за умови g(x1,x2)=0 необхідно знайти вирішення системи
L=f (x1,x2)+g(x1,x2)=0, (6.3)
L=f (x1, x2) +g(x1, x2) =0,
L= g(x1, x2) =0.
Якщо і додаткові умови, при виконанні яких вирішення (x1,x2,) системи (6.3) визначає точку, в якій функція f досягає екстремуму, для цього потрібно розрахувати значення і скласти визначник
=-.
Якщо <0, то функція має в точці () умовний максимум, якщо >0 – то умовний мінімум.
Вирішимо задачу методом множинника Лагранжа.
Загальні витрати виробництва задані функцією Т=0,5х2+0,6ху+0,4у2+ +700х+600у+2000, де х і у відповідно кількість товарів А і В. Загальна кількість виробленої продукції повинна дорівнювати 500 одиниць. Скільки одиниць товару А і В потрібно виробити, щоб витрати на їх виготовлення були мінімальними?
Вирішення
Складемо функцію Лагранжа
L(x, y, ) =0,5х2+0,6ху+0,4у2+ +700х+600у+2000+(х+у-500).
Дорівнюючи до нулю її часні похідні, отримаємо
х+0,6у+700+ =0,
0,6х+0,8у+600+ =0,
х+у-500=0.
Вирішивши систему знайдемо (0, 500, -1000).
Використаємо достатні умови для визначення знайденого значення
L(x0,y0)=1, L(x0,y0)=0.8, L(x0,y0)=0.6. Функція g= х+у-500. g=1, g=1.
=-(0·L·L+ g·L· g+ g·g·L- g·L·g-0·L·L- g· g·L)=0,6>0
Таким чином, в точці (0;500) функція L має умовний мінімум.
Відповідь: Вигідно виробляти тільки 500 одиниці товару В, а товар А не виробляти.
Все темы данного раздела:
Економетричне моделювання
Тема 9. Принципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія:
Принципи побудови економетричних моделей. Критерії адекватності економетричної моделі. Сутність мультиколін
Визначення економіко-математичного моделювання. Види моделей. Основні етапи моделювання
Економіко-математичне моделювання - це дисципліна, в якій поєднуються математичні методи для вирішення економічних завдань. Теоретичним базисом економіко-математичного моделю
Випадкові події і величини, їх числові характеристики
З позиції теорії пізнання спостережувані в природі й суспільстві явища можна підрозділити на наступні види:
- достовірні (визначені), які обов'язково відбудуться, якщо буде
Закони розподілу випадкової величини
Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями.
Найпро
Статистичні гіпотези та їх перевірка
При вибіркових обстеженнях допускаються різного роду похибки, при цьому розрізняють грубі, систематичні й випадкові помилки.
Грубі помилки за абсолютними величинами значно відрізняються ві
Попередня обробка результатів спостережень і техніко-економічної інформації
Економічні явища утворюються не як результат однозначного зв'язку причин і наслідку, а як результат складного переплетіння і взаємодії багатьох причин і наслідків.
Економік
Сутність економіко-математичних моделей оптимізації
На якому рівні не знаходилося суспільне виробництво, які великі не були трудові, матеріальні й фінансові ресурси, перед господарськими керівниками завжди стоїть завдання найкращого
Загальна характеристика задач математичного програмування
Математичне програмування відіграє винятково важливу роль у підготовці фахівців економічного профілю. Використання математичних методів економічній діяльності дозволяє вирішувати оп
Види економіко-математичних моделей оптимізації
При здійсненні господарської діяльності підприємством можуть бути сформовані наступні види економіко-математичних моделей оптимізації:
1. Економіко-математичні моделі оптимізації випуску п
Сутність і методи лінійного програмування
Лінійне програмування використовує математичний інструментарій, який базується на теорії і методах вирішення задач про екстремуми лінійних функцій, що задаються системами лінійних р
Особливості задач лінійного програмування та практичні аспекти їх вирішення
Задачам лінійного програмування властиві наступні особливості:
1. Цільова функція є зваженою лінійною сумою від невідомих змінних xi вигляду:
Аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач
Аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач спрямований на прийняття оптимального рішення. Лінійна оптимізаційна модель включає систему обмежень, цільову функцію, області допустимих рішень, критер
Основні поняття і сутність цілочислового програмування
Цілочислове програмування – це різновид задач лінійного програмування, в якому змінні та отримані результати повинні бути цілими числами.
Задачі цілочислового програмування можуть б
Алгоритм розв’язування задач цілочислового програмування
Алгоритм розв’язування задач цілочислового програмування наступний:
1. Розв'язується задача лінійного програмування без обмежень на цілочисельність, наприклад, симплекс-методом.
Метод Гомори
Перший алгоритм Р. Гомори полягає в наступному:
Хай задана повністю цілочисельна лінійна задача:
(5
Метод віток і меж
Метод віток і меж використовується як до повністю цілочисельних задач, так і до частково цілочисельних задач.
Спочатку розв'язується ослаблена задача без обмежень на
Сутність нелінійних зв’язків в економічних системах
Найважливішою задачею економічної науки є цілеспрямоване управління поведінкою складних динамічних систем, у тому числі економічних, господарських, технічних та інш. Для цього сучасна наука має в р
Управління ризиком на підприємстві в сучасних умовах господарювання
В умовах реформування економіки управління ризиком є складним процесом, який включає багато чинників. Управління ризиком складається з чотирьох блоків:
Перший блок -
Аналіз заходів управління ризиком в економіці
На підприємстві аналіз заходів щодо управління ризиком спрямований на досягнення основної мети їх діяльності – забезпечення розвитку і складається з декількох етапів. На першому етапі в процесі
Напрями кількісного оцінювання ступеня ризику
Оцінка ризику – це систематичний процес виявлення факторів і видів ризику та їх кількісна оцінка, тобто методологія аналізу ризиків поєднує взаємодоповнюючи кількісний і якісний під
Оцінка ризику на основі абсолютних і відносних показників
Система кількісних оцінок ризику в абсолютному виразі складається з таких:
у випадку, коли рішення є альтернативним, тобто
Допустимий та критичний ризик
В системі оцінки ризику необхідно визначити границі або інтервали, де можна допускати відповідний рівень ризику, а де він є критичним. Тобто визначають зони ризику. При цьому
Оцінка ризику ліквідності
Підприємства на кожному етапі господарської діяльності здійснює відповідні інвестування грошових коштів в економічний процес. Тому необхідно постійно моніторити цей процес, виявляти негативні явища
Принципи побудови економетричних моделей
В економіко-математичному моделюванні важливе місце займають економетричні моделі, які дозволяють встановити причинно-наслідковий зв’язок між економічними факторами. На основі економетричних моделе
Оцінка зв’язку між факторами і критерії адекватності економетричної моделі
Для оцінки зв’язку між факторами економітеричної моделі використовують критерії: коефіцієнт кореляції і коефіцієнт детермінації.
Коефіцієнт кореляції показує ступінь впливу
Сутність мультиколінеарності, напрями її виявлення
В економетричному моделюванні необхідно враховувати також явище мультиколінеарності.
Мультиколінеарність – це явище, яке використовується для опису проблеми, коли не
Парна лінійна регресія
Парний регресійний аналіз спрямований на визначення ступеню зв’язку між змінними і яким чином вони пов’язані в побудові парної моделі. Слід відзначити, що не слід очікувати отримання точного
Сутність кількісного регресійного аналізу
Кількісний регресійний аналіз є продовженням парного регресійного аналізу у випадках, коли залежна змінна у пов’язана з двома або більше незалежними змінними х.
Напрями побудови лінійної моделі множинної регресії
Для побудови лінійної моделі множинної регресії використовується статистична інформація про діяльність підприємства і здійснюються такі етапи: математико-статистичний аналіз, побудова багатофакторн
Критерії оцінки адекватності лінійної моделі множинної регресії
Статистична оцінка надійності коефіцієнта регресії здійснюється за допомогою t-критерію Ст’юдента. Він застосовується для оцінки тісноти зв'язку між незалежною змінною x і за
Економічна інтерпретації лінійних моделей множинної регресії
На етапі аналізу отриманих результатів здійснюється економічна інтерпретація отриманої економетричної моделі. На цьому етапі обґрунтовується економічна доцільність отриманих
Узагальнені економетричні моделі в економіко-математичному моделюванні
Узагальнена економетрична модель – це окрема функція чи система функцій (рівнянь), що описує кореляційно-регресійний зв'язок між економічними показниками, один чи декілька з
Залежна змінна для такої моделі розглядається, як ендогенна змінна, а незалежні змінні – як екзогенні.
Теоретична узагальнена лінійна економетрична модель може бути специфікована у наступній формі :
, (11.4)
Сутність динамічних процесів в економіці
Динамічні процеси, які здійснюються в економічних системах, проявляються у вигляді ряду послідовно розташованих в хронологічному порядку значень того чи іншого показника, який в сво
Таблиця 12.1. Списочна чисельність робітників підприємства
Дата
1.01
1.02
1.03
1.04
30.04
Списочна чисельність робітників
Аналіз часових рядів економічних показників і побудова економетричних моделей динаміки
Прикладами часових рядів також є щомісячна, щоквартальна, щорічна собівартість перевезення пасажирів, обсяг пасажирів, що перевозяться по депо, або рівнянню в цілому. Вихідні дані с
Альтернативні прості тест-завдання
Обведіть правильну відповідь, визначену літерою під запитанням:
1.1. Твердження «На ідеї моделювання по суті базується будь-який метод на
Альтернативні, побудовані за принципом класифікації і подвійної альтернативи
Зробіть правильний вибір із запропонованих альтернатив і обведіть відповідну літеру відповіді:
1.8. Лінійне програмування – це:
а) пере
Встановити правильну послідовність, вказуючи порядок цифрами
1.53. Для побудови багатофакторної економетричної моделі здійснюють наступні етапи:
- вкл
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Альгин А.П. Грани экономического риска. М., - 1991.
2. Ашманов С. А. Введення в математичну економіку. М.: Наука 1984.
3. Балабанов И.Т. Риск-менеджмент. М.: Фи
Новости и инфо для студентов