Решение

Мера множества – это площадь фигуры. Для данного примера – это площадь треугольника: ед².

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

1. Какие из приведенных заданий множеств , , , являются правильными: , , , ?

2. Является ли множество, состоящее из числа 0, пустым множеством?

3. Что такое подмножество и собственное подмножество?

4. Запишите, используя символику теории множеств:

а) элемент принадлежит множеству ;

б) элемент не является элементом множества ;

в) множество, состоящее из букв .

5. Для заданных конечных множеств выпишите все их подмножества и найдите их мощности: а) ; б) .

6. Перечислите элементы множества

.

7. Укажите, какие из следующих утверждений справедливы: а) ;
б) ; в) ; г) .

8. Укажите способы задания множеств.

9. Задайте различными способами множество натуральных чисел, кратных 5 и не превышающих 300.

10. Укажите, сколько элементов содержится в каждом множестве:

Рис. 2

а) ; в) ;

б) ; г) ?

11. Найдите меру следующих множеств:

а) отрезка , лежащего на оси ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) меру множества, указанного на рис. 2

 

1.2. Операции над множествами

Пусть – произвольные множества. Определим операции над ними.

Определение 1. Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. Обозначение: .

Определение 2. Пересечением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно обоим множествам. Обозначение: .

Определение 3. Разностью множества и (дополнением множества до множества или, иначе говоря, без ) называется множество всех элементов , не принадлежащих . Обозначение: .

Определение 4. Дополнением (до универсального множества ) множества называется множество всех элементов, не принадлежащих . Обозначение: . В некоторых случаях запись означает разность не с универсальным множеством, а с множеством, определенным в условии задачи как множество, содержащее .

Определение 5. Симметрической разностью (или кольцевой суммой) и называется множество (или ), куда входят все те элементы множества , которые не входят в множество , а также элементы , которые не входят в , т. е. .

Замечание. Симметрическую разность можно записать в виде .

Перечисленные операции позволяют выражать одни множества через другие. При этом используется следующий порядок выполнения операций: операция дополнения, пересечения, объединения и разности. Если есть скобки, то сначала выполняются операции в скобках.

Пример 1.Пусть заданы множества: ,

и . Найдите:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .