Выпишем элементы, из которых состоят множества и . Тогда , т. е. симметрическая разность состоит из пяти элементов.
Вопросы и задачи для самостоятельного решения
1. Дайте определения объединения, пересечения, разности и дополнения множеств.
2. Укажите порядок выполнения операций над множествами.
3. Запишите, используя символику теории множеств:
а) множество – дополнение к пересечению множеств и ;
б) множество, состоящее из всех элементов множеств и ;
в) множество, состоящее из элементов множества , но не включающее элементы множеств .
4. Дано множество и его подмножества , и . Найдите множества:
а) ; в) ;
б) ; г) .
5. Даны множества и . Найдите мощность множества .
6. Пусть , , и . Найдите мощности следующих множеств:
а) ; г) ;
б) ; д) ;
в) ; е) .
7. Даны два множества: и . Найдите количество элементов, принадлежащих множеству .
8. Даны множества: , и . Найдите мощность множества .
9. Пусть , , – множества, состоящие из всех чисел, кратных 2, 3, 5 соответственно. С помощью операций над множествами выразите через них множества чисел: а) делящихся на 6; б) делящихся на 30; в) делящихся на 10, но не делящихся на 3.
1.3. Диаграммы Эйлера – Венна
Для наглядного представления множеств используют диаграммы Эйлера – Венна (названных по имени математиков Леонарда Эйлера (1707–1783) и Джона Венна (1834–1923)). Множества обозначают областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают элементы множества. Часто все множества на диаграмме размещают внутри прямоугольника, который представляет собой универсальное множество . Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то области, отвечающие таким множествам, должны перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно находиться в соответствующих областях. Выбор формы областей, изображающих множества на диаграммах, может быть произвольным (круги, многоугольники и т. п.).
| Рис. 3 |
Проиллюстрируем введенные выше операции над множествами с помощью диаграмм Эйлера – Венна:
а) объединение множеств и ; б) пересечение множеств и ; в) разность множеств и ( без ); г) дополнение множества до универсального множества (рис. 4, а, б, в, г).
| б |
| а |
| в |
| г |
Рис. 4
Пример 1. Докажите с помощью диаграмм Эйлера – Венна тождество .