Построим множество, соответствующее левой части заданного тождества. Множество представлено закрашенной областью на рис. 6, а. Множеству соответствует закрашенная область на рис. 6, б.
Множество изображает область, закрашенная на обеих предыдущих диаграммах, поэтому оно представлено на рис. 6, в более темной областью.
| б |
| в |
| а |
Рис. 6
Построим множество, соответствующее правой части заданного тождества.
Множества и представлены закрашенной областью на
рис. 7, а и 7, б соответственно.
Множество изображено закрашенной областью на
рис. 7, в.
| в |
| б |
| а |
Рис. 7
Сравнивая рис. 6, в и рис. 7, в, видим, что и на диаграммах Эйлера – Венна изображаются одинаково, поэтому .
Вопросы и задачи для самостоятельного решения
1. Изобразите множества, используя диаграммы Эйлера – Венна:
а) ; б) .
2. Опишите множества, соответствующие закрашенным частям на
рис. 8, а, б, в, г, с помощью диаграмм Эйлера – Венна:
| в |
| а |
| в |
| г |
Рис. 8
3. С помощью диаграмм Эйлера – Венна покажите, что:
а) ;
б) .
1.4. Свойства операций над множествами
Операции над множествами, введенные выше, обладают следующими свойствами.
1. – коммутативность.
2. – ассоциативность.
3. – дистрибутивность.
4. – идемпотентность.
5. – законы тождества.
6. , , – законы дополнения.
7. – законы де Моргана.
8. – законы поглощения.
9. – законы склеивания.
10. – законы Порецкого.
Пример 1. Опираясь на свойства операций над множествами, упростите выражение .