Свойства бинарных отношений

1.Бинарное отношение на множестве рефлексивное, если для всякого выполняется .

2.Бинарное отношение на множестве антирефлексивное, если для любых и , для которых выполнено , следует, что .

3. Бинарное отношение на множестве симметричное, если из выполнения следует, что , т. е. из принадлежности отношению пары следует принадлежность этому отношению также пары .

4.Бинарное отношение на множестве антисимметричное, если из выполнения и следует, что .

5.Бинарное отношение на множестве транзитивное, если из выполнения и следует выполнение .

Определение 2. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве называется отношением эквивалентности.

Определение 3. Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение на множестве называется отношением нестрогого порядка.

Определение 4. Антирефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение на множестве называется отношением строгого порядка.

Пример.Проверьте, какими свойствами обладает отношение

(т.е. кратно трем).

Решение:

а) рефлексивность: для и необходимо показать, что .

Действительно, отношение рефлексивно;

б) симметричность: для и необходимо показать, что .

Обозначим , подставим:

отношение симметрично;

в) транзитивность: для и , необходимо показать, что .

Обозначим , и ,
подставим:

отношение транзитивно.

Так как отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно, оно является отношением эквивалентности.

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

1. Какие отношения называют отношением эквивалентности, отношением нестрогого порядка, отношением строгого порядка?

2. Найдите область определения и множество значений отношений:

а) ;

б) .

3. Даны множества и . Найдите количество пар, удовлетворяющих бинарному отношению .

 

1.7. Функция

Отношения эффективно применяются для описания связей между парами элементов, выбранных из двух множеств и . Функции – частный случай бинарных отношений, на которые наложены дополнительные ограничения.

Рассмотрим два произвольных множества и , элементы которых будем обозначать , .

Определение 1. поставим каждому элементу в соответствие один и только один элемент по определенному правилу . Тем самым зададим отображение множества в множество . Обозначение: .

Часто вместо термина «отображение» используют термин «функция».

Пусть – функция из множества в множество . Поскольку для каждого существует единственным образом определенный , такой, что , то будем писать и говорить, что функция отображает множество в множество . При этом элементы называются образом при отображении , а совокупность элементов называется прообразом элемента и обозначается .

Множество принято называть областью определения функции. Обозначение: . Множество – областью значений функции . Обозначение: .

Способы задания функций:

1) аналитический (одной или совокупностью формул);

2) табличный;

3) описательный;

4) графический.

Определение 2.Графиком функции является изображение в декартовой системе координат множества точек , где , а , т. е. изображение декартова произведения области определения функции и области ее значений.

Рис. 11

Например,график функции , заданный формулой , изображен на рис. 11.

Множество определения – ось – множество действительных чисел, множество значений – ось – множество неотрицательных действительных чисел.

График функции состоит из точек прямого произведения , для которых .

Пример 1. Найдите область определения функции .