1.Бинарное отношение на множестве рефлексивное, если для всякого выполняется .
2.Бинарное отношение на множестве антирефлексивное, если для любых и , для которых выполнено , следует, что .
3. Бинарное отношение на множестве симметричное, если из выполнения следует, что , т. е. из принадлежности отношению пары следует принадлежность этому отношению также пары .
4.Бинарное отношение на множестве антисимметричное, если из выполнения и следует, что .
5.Бинарное отношение на множестве транзитивное, если из выполнения и следует выполнение .
Определение 2. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве называется отношением эквивалентности.
Определение 3. Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение на множестве называется отношением нестрогого порядка.
Определение 4. Антирефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение на множестве называется отношением строгого порядка.
Пример.Проверьте, какими свойствами обладает отношение
(т.е. кратно трем).
Решение:
а) рефлексивность: для и необходимо показать, что .
Действительно, отношение рефлексивно;
б) симметричность: для и необходимо показать, что .
Обозначим , подставим:
отношение симметрично;
в) транзитивность: для и , необходимо показать, что .
Обозначим , и ,
подставим:
отношение транзитивно.
Так как отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно, оно является отношением эквивалентности.
Вопросы и задачи для самостоятельного решения
1. Какие отношения называют отношением эквивалентности, отношением нестрогого порядка, отношением строгого порядка?
2. Найдите область определения и множество значений отношений:
а) ;
б) .
3. Даны множества и . Найдите количество пар, удовлетворяющих бинарному отношению .
1.7. Функция
Отношения эффективно применяются для описания связей между парами элементов, выбранных из двух множеств и . Функции – частный случай бинарных отношений, на которые наложены дополнительные ограничения.
Рассмотрим два произвольных множества и , элементы которых будем обозначать , .
Определение 1. поставим каждому элементу в соответствие один и только один элемент по определенному правилу . Тем самым зададим отображение множества в множество . Обозначение: .
Часто вместо термина «отображение» используют термин «функция».
Пусть – функция из множества в множество . Поскольку для каждого существует единственным образом определенный , такой, что , то будем писать и говорить, что функция отображает множество в множество . При этом элементы называются образом при отображении , а совокупность элементов называется прообразом элемента и обозначается .
Множество принято называть областью определения функции. Обозначение: . Множество – областью значений функции . Обозначение: .
Способы задания функций:
1) аналитический (одной или совокупностью формул);
2) табличный;
3) описательный;
4) графический.
Определение 2.Графиком функции является изображение в декартовой системе координат множества точек , где , а , т. е. изображение декартова произведения области определения функции и области ее значений.
| Рис. 11 |
Множество определения – ось – множество действительных чисел, множество значений – ось – множество неотрицательных действительных чисел.
График функции состоит из точек прямого произведения , для которых .
Пример 1. Найдите область определения функции .