рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Означення комплексного числа

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Означення комплексного числа

Означення комплексного числа - раздел Математика, Елементарні формули алгебри. Спрощення алгебраїчних виразів. У Шкільному Курсі Математики Розглядаються Такі Числові Множини: Натуральні Ч...

У шкільному курсі математики розглядаються такі числові множини: натуральні числа , цілі числа , раціональні числа і дійсні числа . При цьому , тобто кожна подальша множина включає попередню і більш досконала з погляду можливості виконання операцій. Так, наприклад, на множині натуральних чисел не завжди здійснима операція віднімання (1 - 7 – не визначено в ). На множині цілих чисел ця операція завжди визначена (1 - 7 = - 6).

Проте на множині дійсних чисел не здійснима операція обчислення кореня парного степеня з від’ємного числа ( – не визначено, якщо – парне, а ). Наприклад, рівняння не має розв’язків на множині . Отже, виникає необхідність розширення множини дійсних чисел для одержання всіх можливих коренів алгебраїчних рівнянь.

Рис. 6.1

Введемо число , яке будемо називати уявною одиницею, для якого виконується умова .

На множині дійсних чисел рівняння має лише один корінь , але , звідки або , або . Останнє квадратне рівняння має від’ємний дискримінант , тобто не має дійсних розв’язків, його корені мають вигляд . Із застосуванням уявної одиниці одержимо . Такий вираз будемо називати алгебраїчною формою запису комплексного числа.

Означення. Комплексним числом у алгебраїчній формі називається вираз вигляду , де і – будь-які дійсні числа, а – уявна одиниця. Числа і називаються відповідно дійсною і уявною частинами комплексного числа і позначаються , .

– множина всіх комплексних чисел. За умови маємо . Отже, – множина дійсних чисел – є підмножиною множини комплексних чисел.

Комплексні числа і вважаються рівними тоді й тільки тоді, коли і .

Комплексне число називається спряженим комплексному числу . Отже, якщо рівняння з дійсними коефіцієнтами має комплексні корені, то вони завжди спряжені.

Комплексне число зображується в комплексній площині точкою з координатами або вектором, початок якого знаходиться в точці , а кінець – в точці , де – це дійсна вісь, а – уявна (рис. 6.1).

Довжина вектора називається модулем комплексного числа і позначається , отже, . Кут , утворений вектором з додатним напрямом осі , називається аргументом комплексного числа і позначається ( або ). Коли , , а якщо , то . З рис. 6.1 видно, що . Тоді . Останній вираз називається тригонометричною формою комплексного числа.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Елементарні формули алгебри. Спрощення алгебраїчних виразів.

Розділ Алгебраїчні перетворення... Многочлени від однієї змінної Ділення многочленів з остачею Теорема Безу...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Означення комплексного числа

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Теорема Безу
Загальний вигляд многочлена: , де – ім'я; – степінь; – аргумент; – коефіцієнт; – старший коефіцієнт (якщо – многочлен зведений); – старший член; – вільний член.

Корені многочлена. Теорема Вієта
Теорема (про раціональні корені многочлена). Якщо раціональне число ( , – цілі взаємно прості числа) – корінь многочлена з цілими коефіцієнтами, то – дільник вільного члена, – діль

Раціональних дробів на прості дроби
Означення 1. Дріб вигляду , де – многочлени, називається раціональним; якщо , то раціональний дріб є правильним. Означення 2. Раціональні дроби де називаю

Розв’язання.
, якщо ( це ОДЗ перетворень). Приклад 1.12.Спростити вираз Розв’язання. ОДЗ: Звільнимося від і

Тригонометричні функції числового аргументу
Наведемо означення тригонометричних функцій числового аргументу. Синусом числа ( ) називається ордината точки C, яка утворюється в результаті повороту радіус-вектора = {0,

Основні формули тригонометрії. Формули зведення. Перетворення тригонометричних виразів
У процесі перетворення тригонометричних виразів широко застосовуються такі формули. 1. Формули додавання: . 2. Формули кратних аргументів

Розв’язання.
У перетвореннях тригонометричних виразів застосовувалися формули подвійного аргументу для і . Слід звернути увагу на те, що наведені дії можливі лише тоді, коли тобто , або .

Властивості логарифмів. Логарифмічні перетворення
При перетворенні логарифмічних виразів треба враховувати властивості показникової та логарифмічної функцій: 1) 2) 3) 4)

Означення функції та її властивості
Означення функції. Правило (закон) відповідності між множинами і , за яким для кожного елемента з множини можна знайти один і тільки один елемент з множини , називається функцією.

Графіки алгебраїчних функцій
Лінійна функція. Функція вигляду називається лінійною функцією. Графіком функції є пряма лінія, яку можна побудувати за двома точками. Наприклад, якщо

Графіки показникової та логарифмічної функцій
Означення.Функція вигляду де – будь-яке додатне число, що не дорівнює , а – будь-яке дійсне число, називаєтьсяпоказниковою. Графіки показникової функції для зн

Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень
У табл. 4.4 показано, як за допомогою геометричних перетворень (паралельний перенос, симетрія, стиск і розтяг) можна отримати графіки відповідних функцій з графіка функції Таблиця 4.4

Рівняння та нерівності. Основні означення
Рівнянням з однією змінною називається рівність, що містить цю змінну, яку називають невідомою. Розв’язком ( або коренем) рівняння називається таке значен

Метод інтервалів. Раціональні нерівності
Розглянемо функцію Якщо всі нулі чисельника та знаменника відмітити на числовій прямій, то вони розіб’ють її на проміжків. Усередині кожного

Розв’язання.
1. Нулі заданої функції – . Вони розбивають числовий інтервал на 4 проміжки (рис. 5.3). Оскільки нерівність не строга, то точки і включаємо до розв’язку. Ри

Рівняння та нерівності, що містять під знаком абсолютної величини
Нагадаємо означення модуля або абсолютної величини числа: модулем називається само число , якщо і , якщо : Наприклад, якщо , то . А у випадку значення модуля таке: .

Розв’язання.
Приклад 5.22 . Розв’язати рівняння Розв’язання. Винесемо за дужки Отримаємо: Приклад 5.23. Розв’язати рівняння

Тригонометричні рівняння
Не існує єдиного методу побудови розв’язку тригонометричних рівнянь. Можна лише зазначити, що перетворення тригонометричних виразів має бути спрямовано на те, щоб рівняння набувало

Алгебраїчні дії з комплексними числами
Нехай і . Застосовуючи властивості арифметичних дій, маємо: 1) додавання (віднімання): ; 2) множення: ; 3) ділення: . Остання дія була виконан