Конспект лекций по теории вероятностей И математической статистике

Конспект лекций по теории вероятностей

И математической статистике

Для специальности “Управление информационными

ресурсами”

(Курс – 40 л, 34 практических, 8 лабораторных работ (ПЭВМ))

 

 

Список литературы

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М. Высш. школа, 2002.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Высш. Шк. 2002-09-03

3. Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика. Минск. Выш. Школа, 1993.

4. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Инфра-М. 2000.

5. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В. И. Ермакова. М. Инфра-М, 2001 г.

6. В.И. Малыхин Математика в экономике. Уч. Пособие. М. Инфра-М, 2002.

7. Гринберг А.С., Плющ О.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. Курс лекций. (Система открытого образования)

8. Кротов В.Г. Математика для менеджера, ч.VI. Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Лекция 1. Предмет теории вероятностей и математической статистики и их роль в экономике и менеджменте. 4

Лекция 2. Аксиоматика теории вероятности.. 11

Понятие случайного эксперимента. 11

Пространство элементарных событий. 11

Совместные и несовместные события. 12

Операции над событиями (сумма, разность, произведение). 13

Свойства операций над событиями. 15

Алгебра и сигма-алгебра событий. 16

Лекция 3. Методы определения вероятностей событий.. 18

Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов. 18

Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов. 20

Геометрические вероятности. 21

Аксиоматическое построение теории вероятностей. 22

Вероятностное пространство. 23

Лекция 4. Основные теоремы теории вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса. 24

Полная группа событий. 24

Условная вероятность. 24

Формула умножения вероятностей. 25

Формула сложения вероятностей. 25

Независимость событий. 26

Формула полной вероятности. 27

Формула Байеса. 28

Основные понятия комбинаторики. 29

Правила суммы и произведения. 29

Лекция 5. Схема независимых испытаний Бернулли.. 31

Случай непостоянной вероятности появления события в опытах. 31

Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли. 32

Предельные теоремы для схемы Бернулли. 33

Теорема Пуассона. 33

Понятие потока событий. 34

Локальная теорема Муавра –Лапласа. 35

Интегральная (глобальная) теорема Муавра – Лапласа. 36

Лекция 6. Виды случайных величин и расчет вероятностей.. 38

событий с использованием функций и плотностей распределения. 38

Закон распределения дискретной случайной величины. 39

Функция распределения случайной величины и ее свойства. 39

Свойства функции распределения. 41

Плотность распределения вероятностей. 42

Лекция 7. Основные параметры распределений.. 44

одномерных случайных величин. 44

Математическое ожидание случайной величины.. 44

Свойства математического ожидания: 45

Дисперсия случайной величины и ее свойства. 46

Среднее квадратическое отклонение. 48

Лекция 8. Основные законы распределений случайных величин.. 51

Биномиальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия. 51

Распределение Пуассона. 52

Геометрическое распределение. 53

Гипергеометрическое распределение (урновая схема) 54

Равномерное распределение. 56

Показательное распределение. 57

Лекция 9. Нормальное распределение и его свойства. 59

Свойства функции Гаусса. 61

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. 62

Функция Лапласа и ее свойства. 63

Отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм». 64

Лекция 10. Многомерные случайные величины.. 67

Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины.. 67

Совместная функция распределения двух случайных величин. 68

Свойства совместной функции распределения двух случайных величин. 69

Плотность совместного распределения вероятностей. 69

непрерывной двумерной случайной величины.. 69

Свойства двумерной плотности вероятности. 70

Независимые случайные величины.. 70

Числовые характеристики системы двух случайных величин. 71

Корреляционный момент. 71

Коэффициент корреляции. 72

Свойства коэффициента корреляции. 73

Лекция 11. Предельные теоремы теории вероятностей. 75

Неравенство Чебышева. 75

Теорема Чебышева. 76

Центральная предельная теорема. 79

Лекция 12. Выборочный метод анализа свойств генеральной совокупности. 81

Выборочный метод и его основные понятия. Случайная выборка и ее объем.. 82

Способы отбора. 83

Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин. 85

Полигон и гистограмма. 87

Лекция 13. Понятие о статистических оценках случайных величин.. 89

Эмпирическая функция распределения. 89

Важнейшие свойства статистических оценок. 90

Надежность и доверительный интервал. 94

Лекция 14. Доверительные интервалы для математического. 96

ожидания и дисперсии.. 96

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии. 96

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии 97

. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения s нормального распределения. 99

Лекция 15. Проверка статистических гипотез. 102

Статистический критерий. 104

Критическая область. Область принятия гипотезы. 105

Критические точки. 105

Критерий согласия Пирсона о виде распределения. 106

Лекция 16. (УИР) Понятие о регрессионном анализе. 111

Понятие о регрессионном анализе. 111

Выборочные уравнения регрессии. 113

Линейная регрессия. 114

Множественная линейная регрессия. 116

Нелинейная регрессия. 116

Лекция 17 (УИР). Понятие о корреляционном анализе. 119

А. Парная корреляция. 122

Б. Множественная корреляция. 126

Лекция 18 (УИР). Цепи Маркова с дискретным временем.. 129

Однородные цепи Маркова. 130

Переходные вероятности. Матрица перехода. 131

Равенство Маркова. 131

Лекция 19 (УИР). Цепи Маркова с непрерывным временем. 135

Уравнения Колмогорова. 136

Финальные вероятности состояний системы.. 137

Схема гибели и размножения. 140

Лекция 20 (УИР). Системы массового обслуживания. 144

Расчет характеристик систем массового обслуживания. 147

Одноканальные модели. 147

А. Одноканальная модель с отказами. 147

Б. Одноканальная модель с ожиданием.. 150

Многоканальные модели. 152

 

Лекция 1. Предмет теории вероятностей и математической статистики и их роль в экономике и менеджменте

занимающийся изучением математических закономерностей массовых однородных случайных явлений. Следует особо подчеркнуть, что методы теории… Методы теории вероятностей широко используются в экономике, в теории… Можно сказать, что предметом курса ТВ и МС является анализ случайных явлений как объективного феномена (пример –…

Лекция 2. Аксиоматика теории вероятности

Понятие случайного эксперимента.

Эксперимент считается случайным, если он может закончиться любым из некоторой совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента…

Пространство элементарных событий.

События называют элементарными событиями (элементарными исходами). Множество… Пространство элементарных событий обычно считается заданным, если указаны все его элементы. Пример: Для эксперимента с…

Совместные и несовместные события.

Два события называются несовместными (несовместимыми) в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько… Другими словами, события А и В совместны, если соответствующие множества А и В… При определении вероятностей событий часто используется понятие равновозможных событий. Несколько событий в данном…

Операции над событиями (сумма, разность, произведение).

С каждым испытанием связан ряд событий, которые, вообще говоря, могут появляться одновременно. Например, при бросании игральной кости событие есть выпадение двойки, а событие – выпадение четного числа очков. Очевидно, что эти события не исключают друг друга.

Пусть все возможные результаты испытания осуществляются в ряде единственно возможных частных случаев, взаимно исключающих друг друга. Тогда

ü каждый исход испытания представляется одним и только одним элементарным событием;

ü всякое событие , связанное с этим испытанием, есть множество конечного или бесконечного числа элементарных событий;

ü событие происходит тогда и только тогда, когда реализуется одно из элементарных событий, входящих в это множество.

 

Произвольное, но фиксированное пространство элементарных событий , можно представить в виде некоторой области на плоскости. При этом элементарные события – это точки плоскости, лежащие внутри . Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполнимые над множествами. По аналогии с теорией множеств строится алгебра событий. При этом могут быть определены следующие операции и сотношения между событиями:

AÌB (отношение включения множеств: множество А является подмножеством множества В) – событие A влечет за собой событие В. Иначе говоря, событие В происходит всякий раз, как происходит событие A. Пример - выпадение двойки влечет за собой выпадение четного числа очков.

(отношение эквивалентности множеств) – событие тождественно или эквивалентно событию . Это возможно в том и только в том случае, когда и одновременно , т.е. каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое. Пример – событие А – поломка прибора, событие В – поломка хотя бы одного из блоков (деталей) прибора.

() – сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий или (логическое "или"). В общем случае, под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Пример – цель поражена первым орудием, вторым или обоими одновременно.

() – произведение событий. Это событие, состоящее в совместном осуществлении событий и (логическое "и"). В общем случае, под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в одновременном осуществлении всех этих событий. Таким образом, события и несовместны, если произведение их есть событие невозможное, т.е. . Пример – событие А – вынимание из колоды карты бубновой масти, событие В – вынимание туза, тогда - появление бубнового туза.

– разность событий. Это событие, состоящее из исходов, входящих в , но не входящих в . Оно заключается в том, что происходит событие , но при этом не происходит событие . Пример – А – сдача экзаменационной сессии, В – получение степени, тогда А-В – сдача сессии с недостаточно высоким для получения стипендии результатом.

Противоположным (дополнительным) для события (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в .

Наступление события означает просто что событие не наступило.

Часто оказывается полезной геометрическая интерпретация операций над событиями. Графическая иллюстрация операций называется диаграммами Венна.

 

Свойства операций над событиями.

  1. 2.

Алгебра и сигма-алгебра событий.

Совокупность случайных событий (подмножеств множества ), определенных на пространстве элементарных исходов , называется алгеброй событий(или булевой… 1. ; 2. Если и , то для любых и ;

Лекция 3. Методы определения вероятностей событий

 

Вероятность является количественной мерой возможности появления события. Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов.

Классическое определение вероятности связано с определением благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события. Вероятность события равна отношению числа равновозможных благоприятствующих элементарных исходов к общему числу всех равновозможных элементарных исходов данного испытания:

,

где ­– число благоприятствующих событию исходов;

– общее число возможных исходов.

Примеры:1. Кубик, 2. Какова вероятность того, что в произвольном двузначном числе две цифры одинаковы (9/90 = 0.1), 3. Из букв слова “дифференциал” выбирается одна буква. Какова вероятность того, что это а) гласная, б) буква “ф”.

Из определения вероятности события следует, что , поэтому всегда выполняются неравенства , т.е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

ü Если , то событие невозможное.

ü Если , то событие достоверное.

ü Равновозможные элементарные события являются равновероятными, т.е. обладают одной и той же вероятностью.

Теорема. Эквивалентные события имеют одинаковые вероятности, т.е. если , то .

Если событие происходит всякий раз после того, как произошло событие , то говорят, что из события следует событие (). Например, для любых двух…  

Теорема. Если , то .

Доказательство. Пусть и – число благоприятных элементарных исходов соответственно для событий и , а – общее число элементарных исходов. Так как каждый элементарный исход для события является также элементарным исходом для события , то и, следовательно, . Пример: выпадение четного числа очков более вероятно, чем выпадение двойки.

Теорема. Вероятность события , противоположного событию равна

.

Доказательство. Пусть полная система равновозможных элементарных исходов содержит событий, из которых (), благоприятны событию . Тогда исходов неблагоприятны событию , т.е. благоприятствуют событию . Таким образом,

.

Классическое определение вероятности предполагает, что

Ø число элементарных исходов конечно;

Ø эти исходы равновозможны.

Однако на практике встречаются испытания с бесконечным числом возможных исходов. Кроме того, нет общих методов, позволяющих результат испытания, даже с конечным числом исходов, представить в виде суммы равновозможных элементарных исходов. Поэтому применение классического определения вероятности весьма ограничено. Пример: кубик со смещенным центром тяжести.

Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов.

Во многих случаях более удобным оказывается статистическое определение вероятности, которое связано с понятием относительнойчастоты появления… . Опыт показывает, что при проведении сравнительно малого числа испытаний относительная частота принимает значения,…

Вероятностью события в статистическом смысле называется число , относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов.

Поэтому, на практике за вероятность события принимается относительная частота при достаточно большом числе испытаний.

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения вероятности, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Если вероятность некоторого события близка к нулю, то, в соответствии со сказанным следует, что при единичном испытании в подавляющем большинстве случаев такое событие не наступит. Возникает вопрос: насколько малой должна быть вероятность, чтобы можно было пренебречь вероятностью наступления некоторого события в единичном испытании (например, землетрясение в Минске)? Достаточно малую вероятность, при которой наступление события можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике уровень значимости обычно принимают равным 0,05 (пятипроцентный уровень) или 0,01 (однопроцентный уровень).

 

Геометрические вероятности.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, связанный с его неприменимостью к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят… В подобных случаях пространство элементарных исходов может быть представлено… Пусть на область наугад бросается “точка”. Какова вероятность того, что эта точка попадет в область , являющуюся…

Аксиоматическое построение теории вероятностей.

  1. Каждому событию A поставлено в соответствие неотрицательное действительное… 2. Вероятность достоверного события равна единице

Вероятностное пространство

Будем говорить, что задано вероятностное пространство, если задано пространство элементарных исходов W, сигма алгебра и для каждого элементарного события задана его вероятность.

 

 

Иначе говоря, Вероятностным пространством называется тройка (, где - вероятностная мера на .

Лекция 4. Основные теоремы теории вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса

Полная группа событий.

ü появление одного из событий данного множества в результате испытания является достоверным событием, т.е. событие ; ü события и () попарно несовместны и – событие невозможное при любых ,… Простейшим примером полной группы событий является пара противоположных событий и .

.

Условная вероятность.

Вероятность события , вычисленная при условии, что событие уже наступило, называется условной вероятностью события и обозначается . В тех случаях, когда вероятность события рассматривается при условии, что…

Формула умножения вероятностей.

Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

.

Теорему умножения вероятностей легко обобщить на любое конечное число событий.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий:

.

Для доказательства этой теоремы можно использовать метод математической индукции.

 

Формула сложения вероятностей.

Доказательство: Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий… Пусть событию благоприятствуют элементарных исходов, а событию – соответственно исходов. Так как события и по условию…

.

Доказательство: Событие наступит, если наступит одно из несовместных событий , , . По теореме сложения вероятностей несовместных событий

Событие произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: , . Вновь применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем: . Следовательно, .

Аналогично для события получаем . Откуда .

Следовательно .

Независимость событий.

Если при наступлении события вероятность события не меняется, то события и называются независимыми.

Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий и (произведения и ) равна произведению вероятностей этих событий.

Действительно, так как события и независимы, то . В этом случае формула вероятности произведения событий и принимает вид .

События называются попарно независимыми, если независимы любые два из них.

События называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий.

.   Проиллюстрируем различие в применении формул вероятности произведения событий для зависимых и независимых событий на…

Формула полной вероятности.

В этом случае вероятность события можно рассматривать как сумму произведений событий . По теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем . Используя… .

Формула Байеса

Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событий , вероятности которых () известны до опыта (вероятности априори). Производится… Задача состоит в том, что, имея новую информацию (событие A произошло), нужно… На основании теоремы о вероятности произведения двух событий

Основные понятия комбинаторики.

При решении ряда теоретических и практических задач требуется из конечного множества элементов по заданным правилам составлять различные комбинации и производить подсчет числа всех возможных таких комбинаций. Такие задачи принято называть комбинаторными.

При решении задач комбинаторики используют правила суммы и произведения.

Правила суммы и произведения.

Правило произведения – если элемент а может быть выбран способами и после каждого такого выбора элемент b можно выбрать m способами, то пару (ab) из… Упорядоченные наборы, состоящие из k различных элементов, выбранные из n… Теорема. Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле:

Лекция 5. Схема независимых испытаний Бернулли

 

Серия повторных независимых испытаний, в каждом из которых данное событие имеет одну и ту же вероятность , не зависящую от номера испытания, называется схемой Бернулли. Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеются только два исхода: событие (успех), вероятность которого и событие (неудача), вероятность которого .

Вероятность того, что событие наступит в испытаниях, определяется по формуле Бернулли

.

Пример. Вероятность поражения цели стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах цель будет поражена 8 раз. Ответ

Случай непостоянной вероятности появления события в опытах

Мы предполагали, что вероятность наступления события в каждом из опытов постоянна. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем,… Способ вычисления вероятности заданного числа появлений событий в таких… Пусть проводится независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие , причем…

Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли.

Число наступлений события называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления любое другое количество раз.

Теорема. Наивероятнейшее число наступлений события в независимых испытаниях заключено между числами и .

Следует отметить, что наивероятнейших чисел может быть два или одно в зависимости от того, является np+p целым числом или нет. Если это число нецелое, то наивероятнейшее число (целая часть), в противном случае имеется два значения и

 

Предельные теоремы для схемы Бернулли.

Если число испытаний велико, формулу Бернулли применять неудобно. В этом случае можно применять приближенные формулы, точность которых увеличивается с возрастанием .

Теорема Пуассона.

Теорема: Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие наступит раз, приближенно равна

,

Где .

Доказательство:

Введем обозначение , выразим отсюда и подставим это выражение в формулу Бернулли:

.

При все выражения в скобках, за исключением предпоследнего, можно принять равными единице, т.е.

.

При

,

поэтому

,

что и требовалось доказать.

Понятие потока событий.

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Интенсивностью потока называют среднее число… Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления событий… Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени…

Локальная теорема Муавра –Лапласа.

Лапласом была получена важная приближенная формула для вероятности появления события точно раз, при условии, что достаточно велико. В отличие от формулы Пуассона здесь нет ограничения на малость величины в отдельном испытании, т.е. область применимости формулы Лапласа шире.

Теорема. Вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие при испытаниях появится точно раз, выражается приближенной формулой Лапласа

Где .

 

Формулу Лапласа иногда называют асимптотической формулой, поскольку доказано, что относительная ошибка формулы Лапласа стремится к нулю при .

Интегральная (глобальная) теорема Муавра – Лапласа.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа содержит приближенную формулу для вероятности того, что событие появится не менее раз и не более раз.

Теорема. Вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу

,

где ;

.

Доказательство. На основании теоремы сложения вероятностей несовместных событий

.

Или, используя локальную теорему Лапласа,

,

 

Введем обозначение ,

И запишем в виде .

Очевидно, при величина и последняя сумма стремится к определенному интегралу:

,

что и требовалось доказать.

Введем стандартный интеграл Лапласа(функцию Лапласа):

,

который, очевидно, является первообразной функции Гаусса

.

Тогда на основании формулы Ньютона – Лейбница можно записать

.

Значения функций и обычно находятся из таблиц, причем таблицы обычно даны лишь для неотрицательных значений , поскольку ­– четная функция, а – нечетная.

 

Лекция 6. Виды случайных величин и расчет вероятностей

Событий с использованием функций и плотностей распределения

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от… Пример 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных – случайная… Пример 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, является случайной величиной, которая зависит не…

Закон распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения можно задавать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. При табличном задании закона распределения первая строка…   Так как в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, то события образуют…

Функция распределения случайной величины и ее свойства.

Пусть x – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее x, т.е. вероятность события , обозначим через… Функцией распределенияназывают функцию , определяющую вероятность того, что…

Свойства функции распределения

1. Функция распределения принимает значения из промежутка : . 2. Функция распределения – неубывающая функция, т.е. при . 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности :

Плотность распределения вероятностей.

Для непрерывных случайных величин, кроме функции распределения вводится также понятие плотности распределения вероятностей, или плотности вероятности.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется производная от ее функции распределения

.

Зная плотность распределения вероятностей, можно найти функцию распределения, интегрируя плотность вероятности в общем случае от до рассматриваемого значения , т.е.

.

Свойства плотности распределения вероятностей

Действительно, так как функция распределения неубывающая функция, то ее производная – функция неотрицательная 2. Несобственный интеграл от плотности распределения вероятностей в пределах…

Лекция 7. Основные параметры распределений

Одномерных случайных величин.

 

Во многих практических случаях информация о случайной величине, которую дают закон распределения, функция распределения или плотность вероятностей, является избыточной. Часто проще и удобнее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. К числу наиболее важных из таких числовых характеристик случайных величин относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется соотношением: , где .  

Свойства математического ожидания

Например, под суммой понимается случайная величина , значениями которой являются все допустимые суммы , где и – все возможные значения… Свойства математического ожидания: 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине.

.

Следствие. Если – постоянная величина, то

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин и равно произведению их математических ожиданий:

.

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е..

 

Дисперсия случайной величины и ее свойства.

На практике часто требуется оценить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, акции двух компаний могут приносить в… Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание… .

Свойства дисперсии

1.Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

.

3. Дисперсия суммы (разности) двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2. Если – постоянная величина, то .

 

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины являются ее основными числовыми характеристиками.

 

Пример 1. Пусть закон распределения дискретной случайной величины имеет вид

	0,07	0,21	0,55	0,16	0,01

 

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение: Рассчитаем вначале математическое ожидание

 

Дисперсия равна

 

Пример 2. Плотность вероятности непрерывной случайной величины равна

, где

Найти ее математическое ожидание и дисперсию.

Решение: Найдем математическое ожидание:

 

Далее,

 

 

Найдем дисперсию, используя формулу

 

.

 

Среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением (или стандартом) случайной величины называется корень квадратный из дисперсии этой величины: . Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Поэтому размерность…

Пример.

Пусть имеется два варианта инвестирования со следующими характеристиками

 

Ожидаемая чистая прибыль инвестирования определяется математическим ожиданием и составляет:

Инвестиция 1:

Инвестиция 2:

По ожидаемой прибыли предпочтительнее 1-й вариант.

Однако мы не учли риск, связанный с инвестициями. Этот риск может быть определен с помощью дисперсии и (или) среднего квадратического отклонения. Используя результаты таблицы, получим

Инвестиция 1:

Инвестиция 2:

Т.е. риск по варианту для инвестиции 1 меньше. Выбор – за ЛПР.

 

Лекция 8. Основные законы распределений случайных величин

 

Случайную величину полностью задает закон ее распределения (в дискретном случае), а также функция распределения или плотность вероятностей (для непрерывной случайной величины).

Наиболее важными законами распределения дискретной случайной величины являются биномиальный закон, закон распределения Пуассона, геометрическое и гипергеометрическое распределение, а непрерывной – нормальное, равномерное и показательное распределения. Нормальное распределение будет рассмотрено в одной из последующих лекций.

Биномиальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия.

, где , .  

Распределение Пуассона.

Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если она может принимать значения , соответствующая вероятность которых… , Распределение Пуассона для приведено ниже

Геометрическое распределение

.   Случайная величина, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число испытаний в схеме Бернулли до…

Равномерное распределение.

График плотности вероятности для равномерного распределения

Показательное распределение.

  где – постоянная положительная величина. Плотность вероятностей для показательного распределения для приведена ниже …

Лекция 9. Нормальное распределение и его свойства

Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами и , если ее плотность вероятности имеет вид функции Гаусса где . С помощью непосредственного вычисления математического ожидания и дисперсии нормального распределения легко…

Свойства функции Гаусса.

Исследуем поведение функции плотности вероятности .   1. Очевидно, что функция определена на всей оси .

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал.

. В случае нормального распределения  

Функция Лапласа и ее свойства.

Функция Лапласа не выражается через элементарные функции:

.

Для ее вычисления используются специальные таблицы или методы приближенного вычисления.

Функция обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. функция – нечетная, т.е. , поэтому в таблицах обычно приводятся значения только для положительных ;

4. функция – монотонно возрастающая функция ( это следует из того, что ).

 

Nbsp;   Отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм».

Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством . Воспользуемся формулой:

Пример 2.

Магазин продает мужские костюмы. По данным статистики известно, что распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равными 48 и 2 соответственно.

Определить процент спроса на 50-й размер, при условии разброса значений этой величины в интервале (49,51).

 

Решение

По условию, a=48, s = 2, a = 49, b =51. Используя формулу

 

 

получаем, что вероятность спроса на 50-й размер в заданном интервале равна

 

 

Вывод: спрос на 50-й размер составит примерно 24% и магазину нужно предусмотреть это в общем объеме закупки.

 

Лекция 10. Многомерные случайные величины

До сих пор мы рассматривали случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом (одномерные случайные величины). Например,… Часто приходится иметь дело с величинами, возможные значения которых… Пример. Станок штампует стальные плитки. Если контролируемыми размерами являются длина X, ширина Y и высота Z плитки,…

Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины

Двумерная дискретная случайная величина задается в виде таблицы распределениявида:   …  

Совместная функция распределения двух случайных величин

Функция , определяющая для каждой пары чисел вероятность того, что примет значение меньшее , и при этом примет значение меньшее , называется…   =.

Свойства совместной функции распределения двух случайных величин

1. Значениясовместной функции распределения удовлетворяют неравенству: . 2. – неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.

Плотность совместного распределения вероятностей

Непрерывной двумерной случайной величины

Непрерывную двумерную случайную величину можно задать с помощью плотности распределения. Плотность совместного распределения вероятностей двумерной… . Зная плотность совместного распределения , можно найти совместную функцию распределения по формуле

Свойства двумерной плотности вероятности

1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна: .

2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице:.

Независимые случайные величины

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая… Теорема. Для того чтобы случайные величины и были независимыми, необходимо и… .

Для независимых случайных величин справедливы соотношения

.

Числовые характеристики системы двух случайных величин

 

Для системы двух случайных величин, кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики, такие как корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционный момент

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют…

Коэффициент корреляции

Коэффициентом корреляции случайных величин x и y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

 

Для независимых и коэффициент корреляции равен нулю.

Свойства коэффициента корреляции

2. Если , то , где k и b — константы, k>0. 3. Если, , то , где k<0. Коэффициент корреляции достигает своих предельных значений –1 и 1 в том и только в том случае, если между и имеется…

Лекция 11. Предельные теоремы теории вероятностей.

 

Несмотря на то, что заранее нельзя предсказать, какое из возможных значений примет случайная величина в результате опыта, при некоторых условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин становится закономерным. Иными словами, при очень большом числе случайных явлений их средний результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых это может происходить. Эти условия указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел, важнейшей из которых является теорема Чебышева. Для доказательства теоремы Чебышева используется неравенство Чебышева, которое мы сейчас рассмотрим.

 

Неравенство Чебышева

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не… Пример.

Теорема Чебышева.

Если - попарно независимые случайные величины, причем их дисперсии ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было…  

Центральная предельная теорема.

Центральная предельная теорема: Если случайная величина X представляет собой… Пусть - последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и…

Лекция 12. Выборочный метод анализа свойств генеральной совокупности.

Обработка статистических данных методами математической статистики приводит к установлению определенных закономерностей, присущих массовым явлениям.… Статистические данные, как правило, представляют собой ряд значений некоторой… Первая задача математической статистики – указать способы сбора и группировки статистических данных, полученных в…

Выборочный метод и его основные понятия. Случайная выборка и ее объем

 

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, для партии деталей качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер детали.

В принципе, возможно проведение сплошного обследования, т.е. обследование всех объектов. На практике такое обследование применяется редко, например,

ü из–за большого числа объектов

ü из–за дороговизны проведения операции контроля,

ü из–за того, что контроль часто связан с разрушением объекта (проверка электролампы на долговечность ее работы), и т.д.

В таких случаях случайно отбирается и изучается ограниченное число объектов из совокупности.

Выборочной совокупностью или случайной выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отбирается для обследования 100, то объем генеральной совокупности N=1000, а объем выборки n = 100.

Пример: Число единиц товара N, произведенного некоторым предприятием в течение года, есть генеральная совокупность. Для исследования качества продукции на практике рассматривается выборка, состоящая из n единиц товара. Признаком, или случайной величиной, может быть число единиц товара, удовлетворяющих сертификационным требованиям.

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и исследован, его можно возвратить или не возвращать в генеральную совокупность. В связи с этим выборки подразделяются на повторные и бесповторные.

Повторнойназывают выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. При бесповторной выборке отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности, т.е. выборка должна быть репрезентативной (представительной). Пример – изучение общественного мнения.

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Если объем выборки достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборкой стирается.

Способы отбора

На практике применяются различные способы отбора, которые можно подразделить на два вида: · Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда… · Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся а) типический отбор, б)…

Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин.

объем выборки. Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательность…   X ….. n ….

Полигон и гистограмма

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на… Полигон относительных частотстроится аналогично, за исключением того, что на… В случае непрерывного признака строится гистограмма, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения…

Лекция 13. Понятие о статистических оценках случайных величин

Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Обозначим через число наблюдений, при которых наблюдалось значение… Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют… ,

Важнейшие свойства статистических оценок

Обычно имеются лишь данные выборки, например значения количественного признака , полученные в результате n независимых наблюдений. Рассматривая как… Для того чтобы статистические оценки давали корректные приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять…

Выборочные среднее и дисперсия

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n. Выборочным средним называют среднее арифметическое значение признака… .

Надежность и доверительный интервал.

До сих пор мы рассматривали точечные оценки, т.е. такие оценки, которые определяются одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может… Интервальной называют оценку, определяющуюся двумя числами – концами… Статистические методы не позволяют утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству ; можно говорить лишь о…

Лекция 14. Доверительные интервалы для математического

Ожидания и дисперсии

 

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

Будем рассматривать выборочное среднее как случайную величину (т.к. меняется от выборки к выборке) и выборочные значения - как одинаково… . Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения… Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину ,

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения s нормального распределения

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение   или

Лекция 15. Проверка статистических гипотез.

Проверка статистических гипотез представляет собой важнейший этап процесса принятия решения в управленческой деятельности, позволяя проводить… Как известно,закон распределения определяет количественные характеристики… Если закон распределения неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет определенный вид (например, А), то…

Статистический критерий

 

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно.

 

Статистическим критерием(или просто критерием) называют случайную величину (K), которая служит для проверки нулевой гипотезы. Например, если проверяют гипотезу о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей, то в качестве критерия K принимают отношение исправленных выборочных дисперсий

.

Очевидно, что эта величина случайная, т.к. в различных опытах исправленные дисперсии принимают различные, заранее неизвестные значения.

Наблюдаемым значением критерияK_набл называют значение критерия, вычисленное по выборкам. Например, если в вышеприведенном случае ,то K_набл = 20/5 = 4.

 

Критическая область. Область принятия гипотезы.

Критические точки.

Критической областьюназывают совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Соответственно, областью принятия гипотезы(областью допустимых значений)… Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия…

Критерий согласия Пирсона о виде распределения.

Если закон распределения неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид , то проверяют нулевую гипотезу: генеральная… Таким образом, критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о… Имеется несколько критериев согласия, причем наиболее часто используемым является критерий согласия К. Пирсона…

Лекция 16. (УИР) Понятие о регрессионном анализе

Две или несколько случайных величин могут быть связаны либо функциональной, либо статистической (стохастической) зависимостью. В экономике строгая функциональная зависимость реализуется редко, так как… Пример статистической зависимости: урожай зерна Y зависит от количества внесенных удобрений X . С одинаковых по…

Понятие о регрессионном анализе

При рассмотрении взаимосвязей, как правило, рассматривают одну из величин (X) как независимую (объясняющую), а другую (Y) как зависимую… называется функцией регрессии Y на X. При рассмотрении зависимости двух случайных величин говорят о парной…

Выборочные уравнения регрессии.

Для определения значений теоретических коэффициентов, входящих в уравнения регрессии, необходимо знать и использовать все значения переменных генеральной совокупности, что практически невозможно. В связи с этим по выборке ограниченного объема строится так называемое выборочное (эмпирическое) уравнение регрессии. Из-за ограниченности выборки оценки коэффициентов, входящих в выборочное уравнение регрессии, отличаются от истинных (теоретических) значений, что приводит к несовпадению эмпирической и теоретической линий регрессии. Различные выборки из одной и той же генеральной совокупности обычно приводят к отличающимся друг от друга оценкам. Задача состоит в том, чтобы по конкретной выборке найти оценки неизвестных параметров так, чтобы построенная линия регрессии являлась наилучшей среди всех других линий.

Линейная регрессия

Если функция регрессии линейна, то говорят о линейной регрессии. Линейная регрессия (линейное уравнение) является распространенным (и простым) видом… или ,

Пример.

Для анализа зависимости объема потребления Y(у.е.) хозяйства от располагаемого дохода X(у.е.) отобрана следующая выборка объема

 

 

Необходимо определить вид уравнения регрессии и по методу наименьших квадратов оценить параметры уравнения регрессии, а также спрогнозировать потребление при доходе X=160.

План решения. Строится корреляционное поле. По расположению точек на корреляционном поле предполагается, что зависимость Y от X – линейная. По МНК определяются коэффициенты . Таким образом, уравнение парной регрессии имеет вид:

 

Множественная линейная регрессия

На экономический показатель чаще всего оказывает влияние не один, а несколько факторов. Например, спрос на некое благо определяется не только ценой данного блага, но и ценами на замещающие и дополняющие блага, доходом потребителей и многими другими факторами. В этом случае рассматривается множественная регрессия

.

Теоретическое линейное уравнение регрессии имеет вид

.

Для оценки параметров уравнения множественной линейной регрессии также, как правило, используется метод наименьших квадратов.

 

Нелинейная регрессия

 

Многие экономические зависимости не являются линейными. Например, при анализе эластичности спроса по цене применяется так называемая логарифмическая модель, при анализе издержек от объема выпуска – полиномиальная (кубическая) модель. Часто применяются и другие модели – например, обратная и экспоненциальная. Кратко рассмотрим некоторые из моделей нелинейной регрессии.

 

Логарифмическая модель.

 

Пусть некоторая экономическая зависимость моделируется формулой

где A, b - параметры модели. Эта функция может отражать зависимость спроса Y на благо от его цены X (в этом случае b < 0) или от дохода X (b>0 – функция Энгеля). Прологарифмировав обе части последнего соотношения, получим ; замена переменных позволяет свести уравнение к линейному виду

.

По МНК можно рассчитать значения параметров аналогично случаю линейной модели (при этом вместо рассматриваются ).

 

Обратная модель.

 

Обратная модель имеет вид

.

Заменой эта модель сводится к линейной. Обратная модель применяется, например, для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции.

 

Степенная модель.

 

Степенная функция вида

при m=3 (кубическая функция) в микроэкономике моделирует зависимость общих издержек от объема выпуска; квадратичная функция (m=2) отражает зависимость между объемом выпуска и средними или предельными издержками. Модель может быть сведена к линейной модели множественной регрессии с помощью замены . Параметры модели определяют с помощью МНК.

 

Показательная модель.

Показательная функция может использоваться при анализе изменения переменной Y с постоянным темпом прироста во времени. Примером может…

Лекция 17 (УИР). Понятие о корреляционном анализе.

Экономические явления и процессы находятся в тесной взаимосвязи, и исследование этой взаимосвязи играет важную роль в экономических исследованиях.… Для исследования силы связи между переменными широко применяется… Корреляция в широком смысле слова означает связь, соотношение между объективно существующими явлениями. Связи между…

Пример

Имеются ежемесячные данные наблюдений за состоянием погоды и посещаемостью музея и парка, приведенные в таблице

 

Число ясных дней (X1)	Количество посетителей музея (X2)	Количество посетителей парка (X3)

 

 

Необходимо определить, существует ли взаимосвязь между состоянием погоды и посещаемостью музеев и парков. В результате расчета получим корреляционную матрицу

 

 

 

 

Из корреляционной матрицы видно, что корреляция между состоянием погоды и посещаемостью музея равна -0,921, а между состоянием погоды и посещаемостью парка 0,975. Таким образом, выявлена отрицательная корреляция между посещаемостью музея и количеством солнечных дней и практически линейная положительная корреляция между посещаемостью парка и состоянием погоды.

 

Чрезвычайно важным понятием корреляционного анализа является остаточная дисперсия. Фактически, выбор вида уравнения регрессии осуществляется экспериментальным методом – путем сравнения величины остаточной дисперсии, рассчитанной при разных моделях.

Если кривая регрессии проходит через все точки корреляционного поля (что возможно лишь при функциональной связи), то фактические значения результативного признака Y совпадают с теоретическими. При этом значения результативного признака полностью обусловлены влиянием рассматриваемого фактора и остаточная дисперсия равна нулю.

На практике, как правило, наблюдается некоторое рассеяние точек относительно линии регрессии из-за влияния не учитываемых в уравнении регрессии факторов и ошибок измерений. Иными словами, имеют место отклонения фактических данных от теоретических (). Величина этих отклонений и определяет величину остаточной дисперсии

,

где - фактические, - теоретические данные.

 

Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем меньше влияние не учитываемых в уравнении регрессии факторов, и тем лучше уравнение регрессии соответствует исходным данным. При обработке статистических данных на компьютере перебираются разные математические функции, и из них выбирается та, для которой остаточная дисперсия является наименьшей.

 

Рассмотрим сначала случай парной корреляции.

 

А. Парная корреляция

При использовании линейной регрессии в качестве показателя тесноты связи выступает линейный коэффициент корреляции, рассмотренный выше. Важно понимать, что величина линейного коэффициента корреляции оценивает… В случае нелинейной регрессии вместо коэффициента корреляции используется индекс корреляции, рассчитываемый по…

Оценка значимости уравнения регрессии в целом

Оценка значимости (качества) уравнения регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера (F-теста). При этом выдвигается нулевая гипотеза,…  

Оценка значимости отдельных параметров регрессии

  .  

Б. Множественная корреляция

При исследовании зависимости результативного признака y от ряда факторов необходимо произвести отбор факторов, существенно влияющих на y с учетом… Далее отобранные факторы подвергаются проверке существенности их влияния на…  

Лекция 18 (УИР). Цепи Маркова с дискретным временем

Цепи Маркова широко используются в экономических исследованиях – в частности, при изучении систем массового обслуживания. Примерами процессов… В теоретическом плане цепи Маркова рассматриваются как частный вид случайных… Цепью Маркова называют последовательность испытаний, в каждом из которых появляется только одно из k несовместных…

Однородные цепи Маркова

Однородной называют цепь Маркова, для которой условная вероятность перехода из состояния в состояние не зависит от номера испытания. Для однородных… Примером однородной цепи Маркова могут служить случайные блуждания. Пусть на… В дальнейшем ограничимся рассмотрением конечных однородных цепей Маркова.

Переходные вероятности. Матрица перехода.

Переходной вероятностью называют условную вероятность того, что из состояния в итоге следующего испытания система перейдет в состояние . Таким… Будем считать, что число состояний конечно и равно k. Матрицей перехода системы называют матрицу, которая содержит все переходные вероятности этой системы:

Равенство Маркова

Обозначим через вероятность того, что в результате n шагов (испытаний) система перейдет из состояния в состояние . Например, - вероятность перехода… Возникает вопрос, как, зная переходные вероятности , найти вероятности…

Лекция 19 (УИР). Цепи Маркова с непрерывным временем.

Время наступления событий часто предсказать заранее невозможно. Например, любая деталь устройства или агрегат могут выйти из строя в любой,… Пусть система характеризуется состояниями , и переход из состояния в состояние… .

Уравнения Колмогорова

В случае марковской системы с непрерывным временем и конечным числом состояний их вероятности могут быть найдены с помощью решения системы…   , (2)

Финальные вероятности состояний системы

  , .,  

Схема гибели и размножения

 

Марковский процесс с дискретными состояниями называется процессом гибели и размножения, если все состояния можно вытянуть в цепочку, в которой каждое из промежуточных состояний может переходить только в соседние состояния, а крайние состояния переходят лишь в состояния и соответственно. Граф состояний такой системы приведен на рис. 4.

 

 

Рис. 4. Граф состояний для процесса гибели и размножения.

 

Название схемы взято из биологических задач, где состояние популяции означает наличие в ней особей.

На рис. 4 переход вправо соответствует увеличению популяции, влево – ее уменьшению. Таким образом можно определить как интенсивности размножения, а - как интенсивности гибели. Используется следующее соглашение: буквам и приписывается индекс того состояния, из которого выходит стрелка.

Процессом чистого размножения называется такой процесс, у которого интенсивности всех потоков гибели равны нулю; аналогично процессом чистой “гибели” называется процесс, у которого равны нулю интенсивности всех потоков размножения.

Предельные (финальные) вероятности состояний для простейшего эргодического процесса гибели и размножения, находящегося в стационарном режиме, определяются по следующим формулам:

 

 

В качестве примера решения системы уравнений схемы гибели и размножения рассмотрим эксплуатацию автомобилей в крупной транспортной фирме.

Интенсивность поступления автомобилей на предприятие равна . Каждый поступивший на предприятие автомобиль списывается через случайное время . Срок службы автомобиля распределен по показательному закону с параметром . Процесс эксплуатации автомобилей является случайным процессом. - число автомобилей данной марки, находящихся в эксплуатации в момент времени .

Рассмотрим два случая: 1) нет ограничений на число эксплуатируемых автомобилей, 2) на предприятии может эксплуатироваться не более автомобилей.

Если в начальный момент на предприятии не было ни одного автомобиля, то решать систему уравнений нужно при начальных условиях

 

.

 

Аналогично, если при эксплуатировалось автомобилей, то начальные условия имеют вид

 

Решение системы дифференциальных уравнений Колмогорова при произвольном виде функции не может быть найдено в аналитическом виде. Однако при постоянных интенсивностях потоков гибели и размножения и конечном числе состояний будет существовать стационарный режим. Система в этом случае является простейшей эргодической системой.

Если интенсивности потока поступления и списания автомобилей постоянны, то оказываются справедливы формулы:

1. Максимальное число автомобилей не ограничено

 

.

Математическое ожидание (среднее значение) числа эксплуатируемых автомобилей

;

2. При ограниченном

В этом случае математическое ожидание равно

Лекция 20 (УИР). Системы массового обслуживания.

Поступающие в случайные моменты времени в СМО заявки обслуживаются с помощью каналов обслуживания. Поступившее требование (заявка) присоединяется к…   Примерами СМО могут служить:

Расчет характеристик систем массового обслуживания

Одноканальные модели

А. Одноканальная модель с отказами

  , (1)  

Б. Одноканальная модель с ожиданием

Предположим, что данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более требований, т.е. “лишние” клиенты вынуждены обслуживаться… Граф состояний в этом случае имеет вид, показанный на Рис. 2.  

Многоканальные модели

Ограничимся рассмотрением случая многоканальной СМО с отказами.   В многоканальных СМО параллельно может обслуживаться не более клиентов (заявок) ().Входной и выходной потоки с…