Лекция 1. Предмет теории вероятностей и математической статистики и их роль в экономике и менеджменте
Лекция 1. Предмет теории вероятностей и математической статистики и их роль в экономике и менеджменте - раздел Математика, Конспект лекций по теории вероятностей И математической статистике Теория Вероятностей – Специальный Раздел Курса Высшей Ма...
Теория вероятностей – специальный раздел курса высшей математики,
занимающийся изучением математических закономерностей массовых однородных случайных явлений. Следует особо подчеркнуть, что методы теории вероятностей по самой своей природе не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.
Методы теории вероятностей широко используются в экономике, в теории надежности, теории информации, теории массового обслуживания, в теории принятия решений, в физике, астрономии и др. дисциплинах. Теория вероятностей лежит в основе математической статистики, которая, в свою очередь, используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, контроле качества продукции и т.д. Математическая статистика – наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для осуществления научно обоснованных прогнозов и практических рекомендаций.
Можно сказать, что предметом курса ТВ и МС является анализ случайных явлений как объективного феномена (пример – студенты случайно оказались в АУ).
В экономике, технике и других областях человеческой деятельности очень часто приходится иметь дело с событиями, которые невозможно точно предсказать.
В связи с этим при изучении, например, экономических явлений обычно используют их упрощенные формальные описания (экономические модели). Примерами экономических моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных и финансовых рынках и многие другие. При построении модели выявляются существенные факторы, определяющие исследуемое явление и отбрасываются детали, несущественные для решения поставленной проблемы. По своему определению любая экономическая модель абстрактна и, следовательно, не полна, поскольку, выделяя наиболее существенные факторы, она абстрагируется от менее существенных, которые в совокупности могут определять не только отклонения в поведении объекта, но и само его поведение. Так, в простейшей модели спроса считается, что величина спроса на какой-либо товар определяется его ценой и доходом потребителя. На самом же деле на величину спроса оказывает также влияние ряд других факторов: вкусы и ожидания потребителей, цены на другие товары, воздействие рекламы, моды и так далее.
Поэтому любое экономическое исследование всегда предполагает объединение теории (экономической модели) и практики (статистических данных). Основным элементом экономического исследования является исследование взаимосвязей экономических переменных. Изучение таких взаимосвязей осложнено тем, что они – особенно в макроэкономике – не являются строгими, функциональными зависимостями. Кроме этого:
1. всегда очень трудно выявить все основные факторы, влияющие на результативный признак (исследуемый показатель);
2. часто воздействия являются случайными, то есть содержат случайную составляющую;
3. экономисты, как правило, располагают ограниченным набором данных статистических наблюдений, которые к тому же содержат различного рода ошибки.
Использование методов теории вероятностей и математической статистики часто позволяет упростить построение математической модели экономической системы, выявить существенные для ее описания факторы и оценить достоверность получаемых на основе модели прогнозных значений интересующего нас показателя.
Можно выделить два типа моделей описания объектов окружающего мира (в частности, экономических). Детерминированныемодели предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели (Пример – при равноускоренном движении тела из состояния покоя пройденный путь пропорционален квадрату времени движения, или спрос обратно пропорционален цене товара). Стохастические допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют для их описания методы теории вероятностей и математической статистики.
Вообще говоря, все наблюдаемые события (явления) окружающего нас мира можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Пример – лед плавится при температуре выше нуля. (Приведите примеры еще)
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет при выполнении определенной совокупности условий. Пример – лед не может существовать при 100 градусах Цельсия, Земля не может без влияния извне прекратить свое вращение.
Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий может произойти, либо не произойти. Пример – выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости, попадание снаряда в цель, выход из строя технического устройства, получение определенной прибыли фирмой и т.п.
Объектами изучения теории вероятностей и математической статистики являются именно случайные события, величины и функции, которые характеризуют рассматриваемое случайное явление. Случайное событие характеризуется определенной вероятностью его наступления. Под вероятностью понимается числовая мера степени возможности появления данного события при определенных условиях.
Каждое случайное событие есть следствие очень многих причин, учесть влияние которых на результат очень сложно (а часто и невозможно). Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие, или нет, а лишь выявляет определенные закономерности появления какого-либо результата в большом числе испытаний.
Иногда трудно провести грань между невозможным и чрезвычайно маловероятным событием, например, 1. может ли человек прожить до 1000 лет? (Вероятность 1 деленная на 10^10^35) . Вероятность того, что при вытаскивании 25 букв (с возвращением) разрезной азбуки получится фраза “Мой дядя самых честных правил” (вероятность (1/32)25 = 2,35*10-38. Подобные события называются практически невозможными. Считать или нет событие практически невозможным, зависит от того, к насколько важным последствиям оно может привести. Например, вероятностью потери определенной суммы денег при определенной финансовой операции, равной 0,01, можно пренебречь (считать, что разорение является практически невозможным), а той же вероятностью нераскрытия парашюта при прыжке – нельзя.
Принципиально важным структурным компонентом курса ТВ и МС является набор типовых схем взаимодействия случайных событий. Они позволяют получить соотношения для вероятностей прикладных ситуаций (схема Бернулли, схема Байеса).
Определение вероятностей конкретных событий является отдельной проблемой ТВ. За исключением особо простых случаев, когда вероятность может быть определена исходя из соображений симметрии или здравого смысла, как правило, используется частотный подход, позволяющий подсчитывая частоту наступления случайного события, судить о его вероятности. При этом предельные теоремы ТВ устанавливают возможные границы ошибки.
Еще одним важным структурным компонентом ТВ являются случайные величины. Случайные величины характеризуются законами распределения, которые связывают значение случайной величины с ее вероятностью. Это позволяет установить закономерности изменения случайных величин в различных типовых ситуациях. Такие закономерности отображают функция распределения вероятности случайной величины и плотность вероятности случайной величины. Примером такой закономерности является так называемый нормальный закон распределения случайных величин (закон Гаусса).
В прикладном аспекте основные закономерности ТВ используются в математической статистике. Одним из основных в МС является понятие генеральной совокупности – полной численной характеристики исследуемых объектов, а также понятие выборки – частичной, достаточной для практики, совокупности данных (пример 1 – проверить знание студента – спросить все 80 вопросов (генеральная совокупность) или ограничиться 3-5 (выборка); другой пример – необходимо оценить процент бракованных спичек в продукции спичечной фабрики).
Математическая статистика оперирует также с оценками законов распределения случайных величин, выявляя такие характеристики, как математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия (разброс), а также занимается решением прикладных задач, которые позволяют, в частности, оценить вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал значений.
Математическая статистика, используя специальный математический аппарат регрессионного и корреляционного анализа, помогает установить форму зависимости результативного признака от параметров и оценить степень их важности и взаимосвязи. Крайними (предельными) случаями в этом плане являются некоррелированные (несвязанные) и функционально связанные величины.
Возникновение теории вероятности, как науки, было обусловлено потребностью практики. Формирование интереса к задачам, связанным с вероятностями, происходило не только в связи с азартными играми в кости и карты (Паскаль, Ферма). Задачи на вычисление вероятностей ставили начавшее развиваться страховое дело, службы по изучению статистики народонаселения, которые нуждались в теоретически обоснованных методах обработки наблюдений. Таким образом, в начале семнадцатого века, под влиянием возникающих новых экономических отношений и новых научных проблем начала формироваться наука, изучающая:
ü особого рода законы, которым подчиняются случайные величины;
ü свойства случайных массовых событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий и т.д.
Традиционные методы теории вероятностей и математической статистики – теория оценивания и проверки гипотез, лежат в основе эконометрики, которая устанавливает и исследует количественные закономерности и взаимозависимости в экономике. Эконометрика позволяет строить экономические модели и оценивать их параметры, проверять гипотезы о свойствах экономических показателей и формах их взаимосвязи, что служит основой для экономического анализа и прогнозирования и создает возможность принятия обоснованных экономических решений.
Следует отметить, что используемые в менеджменте методы теории принятия решений, также базируются на ТВ и МС. В управлении приходится иметь дело с явлениями, на которые оказывает влияние множество факторов, не поддающихся строгому учету и контролю. Влияние этих факторов вызывает некоторый неконтролируемый разброс (случайное рассеяние) количественных признаков, будь то качество продукции, производительность технологической линии, объем валовой продукции предприятия, продолжительность какой-либо технологической операции или заработок отдельных рабочих.
Объективное суждение менеджера о закономерностях такого рода стохастических или вероятностныхпроцессов, выбор и обоснование решения возможны лишь на основе вероятностно – статистического анализа исследуемого явления.
Приведем лишь два примера использования ТВ и МС в менеджменте.
1. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг. В портфель могут входить акции, облигации, депозитные сертификаты, недвижимость и т.п. Главная цель в формировании портфеля состоит в достижении оптимального сочетания между риском и доходом инвестора, т.е. в снижении до минимума риска потерь и максимизации дохода (Гарри Марковиц – Нобелевская премия по экономике). Решение данной задачи может быть получено только при использовании аппарата ТВ – стандартного отклонения ставок дохода по портфелю (ассоциируется с риском портфеля) и матрицы ковариации
2. Принятие решений в условиях неопределенности. Решение может приниматься на основе максимизации наиболее вероятных доходов. Например, пусть фирма поставляет на рынок и продает некоторый скоропортящийся продукт. Фирма может продать от 1 до 5 единиц товара.
Количество единиц товара, закупаемого в день
Частота
Относительная частота (вероятность)
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
Максимальный доход (прибыль)
0,6
1,2
1,8
2,4
3,0
На основании анализа вероятностей и величины дохода менеджер может принять решение о поставке на рынок 4 единиц товара.
Понятие случайного эксперимента.
Реализация намеченного действия, приводящая к некоторому результату, называется экспериментом (опытом). Если, исходя из условий, описывающих эксперимент, его результат предсказуем, то такой экспери
Совместные и несовместные события.
Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого. Примеры: попадание в неразрушаемую цель д
Свойства операций над событиями.
Некоторые свойства операций над событиями постулируются, другие легко могут быть получены с помощью диаграмм Венна. Приведем без доказательства основные из этих свойств.
Алгебра и сигма-алгебра событий.
Пусть является пространством всех элементарных исходов для какого-нибудь случайного эксперимента, каждому результату которого соответствует
Геометрические вероятности.
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, связанный с его неприменимостью к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят понятие геометрической вероятнос
Аксиоматическое построение теории вероятностей.
Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А.Н. Колмогоровым, элементарное соб
Полная группа событий.
Множество попарно несовместных событий называют полной группой событий, если при любом исходе случайного эксперимента непременно наступает одно из событий, входящих в это множество
Условная вероятность.
Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет.
Вероятность события , вычи
Формула сложения вероятностей.
Теорема: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
Формула Байеса
Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событ
Правила суммы и произведения.
Правило суммы – если элемент а может быть выбран способами, а элемент b – m способами, то один из этих
Случай непостоянной вероятности появления события в опытах
Мы предполагали, что вероятность наступления события в каждом из опытов постоянна. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производятся в неоди
Понятие потока событий.
Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания. Она может рассматриваться как математическая модель простейшего потока событий с интенсивностью
Функция распределения случайной величины и ее свойства.
Как уже отмечалось, дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ неприменим для непрерывных случайных величин, так как невозмо
Свойства функции распределения
Приведем ряд свойств функции распределения, непосредственно следующих из ее определения.
1. Функция распределения принимает значения из промежутка
Математическое ожидание случайной величины
Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение случайной величины, т.е. приближенно равно ее среднему значению (вероятностный смысл математического ожидания). Иногда знания этой х
Свойства математического ожидания
Прежде чем формулировать свойства математического ожидания необходимо пояснить смысл арифметических операций ,
Дисперсия случайной величины и ее свойства.
На практике часто требуется оценить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, акции двух компаний могут приносить в среднем одинаковые дивиденды, однако вл
Среднее квадратическое отклонение.
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонен
Распределение Пуассона.
Ранее отмечалось, что если при увеличении числа испытаний произведение остается постоянным, то биномиальное распределение п
Геометрическое распределение
Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает значения
Равномерное распределение.
Непрерывная случайная величина считается равномерно распределеннойна отрезке (a,b), если ее плотность вероятности имеет вид:
Показательное распределение.
Показательным (экспоненциальным) распределением непрерывной случайной величины называется
Свойства функции Гаусса.
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса.
Исследуем поведение функции плотности вероятности
Лекция 10. Многомерные случайные величины
До сих пор мы рассматривали случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом (одномерные случайные величины). Например, число очков, которое может выпасть пр
Непрерывной двумерной случайной величины
Непрерывную двумерную случайную величину можно задать с помощью плотности распределения. Плотность совместного распределения вероятностей
Независимые случайные величины
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.
Корреляционный момент
Характеристикой зависимости между случайными величинами и служит математическое ожи
Неравенство Чебышева
Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше, чем
Теорема Чебышева.
Если - попарно независимые случайные величины, причем их дисперсии ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни был
Центральная предельная теорема.
Причину чрезвычайно широкой распространенности случайных величин, описывающихся нормальным распределением, объясняет центральная предельная теорема, доказанная А.М. Ляпуновым.
Способы отбора
На практике применяются различные способы отбора, которые можно подразделить на два вида:
· Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятс
Полигон и гистограмма
Графически статистическое распределение представляется в частности, с помощью полигона и гистограммы.
Полигоном частот
Эмпирическая функция распределения
Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Обозначим через число наблюдений, при которы
Важнейшие свойства статистических оценок
Пусть требуется изучить некоторый количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет п
Выборочные среднее и дисперсия
Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n.
Выборочным средним
Надежность и доверительный интервал.
До сих пор мы рассматривали точечные оценки, т.е. такие оценки, которые определяются одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может
Лекция 15. Проверка статистических гипотез.
На прошлой лекции мы рассматривали задачу построения доверительных интервалов для неизвестных параметров генеральной совокупности. Сегодня мы продолжим изучение основных задач математической статис
Критические точки.
После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества, одно из которых содержит значения критерия, при кот
Понятие о регрессионном анализе
При рассмотрении взаимосвязей, как правило, рассматривают одну из величин (X) как независимую (объясняющую), а другую (Y) как зависимую (объясняемую). При этом изменение первой из н
Линейная регрессия
Если функция регрессии линейна, то говорят о линейной регрессии. Линейная регрессия (линейное уравнение) является распространенным (и простым) видом зависимо
Показательная модель.
Показательная функция
может использоваться при анализе изменения переменной Y с постоянным темпом прирос
Лекция 17 (УИР). Понятие о корреляционном анализе.
Экономические явления и процессы находятся в тесной взаимосвязи, и исследование этой взаимосвязи играет важную роль в экономических исследованиях. Знание взаимосвязей отдельных экон
А. Парная корреляция
Уравнение как линейной, так и нелинейной регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи.
При использовании линейной регрессии в каче
Оценка значимости уравнения регрессии в целом
Оценка значимости (качества) уравнения регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера (F-теста). При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэфф
Б. Множественная корреляция
Множественная регрессия широко используется при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и т.д. Основной целью корреляционного анализа в данном случае является построен
Лекция 18 (УИР). Цепи Маркова с дискретным временем
Цепи Маркова широко используются в экономических исследованиях – в частности, при изучении систем массового обслуживания. Примерами процессов массового обслуживания могут служить, в
Однородные цепи Маркова
Однородной называют цепь Маркова, для которой условная вероятность перехода из состояния
Уравнения Колмогорова
Пусть система имеет конечное число состояний и случайный процесс, протекающий в ней, характеризуется некоторыми вероятностями нахождения системы в каждом из состояний.
В случае марковской
Финальные вероятности состояний системы
Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, то имеет смысл говорить о предельном поведении вероятностей при
Лекция 20 (УИР). Системы массового обслуживания.
Марковский случайный процесс с непрерывным временем характерен для систем массового обслуживания (СМО).
Поступающие в случайные моменты времени в СМО заявки обслужи
А. Одноканальная модель с отказами
Простейшая одноканальная модель СМО характеризуется показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. Плотность распределен
Б. Одноканальная модель с ожиданием
Пусть СМО по-прежнему имеет один канал, но заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Предположим, что данная система (очередь + обслужив
Многоканальные модели
Ограничимся рассмотрением случая многоканальной СМО с отказами.
В многоканальных
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов