рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Лекция 15. Проверка статистических гипотез.

Лекция 15. Проверка статистических гипотез. - раздел Математика, Конспект лекций по теории вероятностей И математической статистике На Прошлой Лекции Мы Рассматривали Задачу Построения Доверительных Интервалов...

На прошлой лекции мы рассматривали задачу построения доверительных интервалов для неизвестных параметров генеральной совокупности. Сегодня мы продолжим изучение основных задач математической статистики и перейдем к вопросу проверки статистических гипотез.

Проверка статистических гипотез представляет собой важнейший этап процесса принятия решения в управленческой деятельности, позволяя проводить подготовительный этап предстоящих действий с учетом реальных характеристик процесса производства, контроля качества продукции, коммерческой деятельности, и т.п.

Как известно,закон распределения определяет количественные характеристики генеральной совокупности.

Если закон распределения неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет определенный вид (например, А), то выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. В этой гипотезе речь идет о видепредполагаемого распределения.

Часто закон распределения известен, но неизвестны его параметры. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр равен определенному значению , то может выдвигаться гипотеза . В этой гипотезе речь идет о предполагаемой величине параметра известного распределения.

Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и т. д.

Приведем несколько задач, которые могут быть решены с помощью проверки статистических гипотез.

1. Используется два метода измерения одной и той же величины. Первый метод дает оценки этой величины, второй - . Требуется определить, обеспечивают ли оба метода одинаковую точность измерений.

2. Контроль точности работы некоторой производственной системы. Получаемые характеристики выпускаемой продукции характеризуются некоторым разбросом (дисперсией). Обычно величина этого разброса не должна превышать некоторого заранее заданного уровня. Требуется определить, обеспечивает ли система (например, линия сборки или отдельный станок) заданную точность.

Итак, статистическойназывают гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Примеры статистических гипотез: генеральная совокупность распределена по закону Пуассона; дисперсии двух нормальных распределений равны между собой.

Наряду с выдвинутой гипотезой всегда рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то принимается противоречащая гипотеза.

Нулевой (основной)называют выдвинутую гипотезу .

Альтернативной (конкурирующей)называют гипотезу , которая противоречит нулевой. Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание нормального распределения равно 5, то альтернативная гипотеза, например, может состоять в предположении, что . Кратко это записывают так: .

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Например, если - параметр показательного распределения, то гипотеза - простая. Сложнойназывают гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, сложная гипотеза состоит из бесконечного множества простых гипотез вида , где - любое число, большее 3.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Так как проверку производят статистическими методами, то ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого родасостоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.Ошибка второго родасостоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Следует отметить, что последствия ошибок могут оказаться различными. Если отвергнуто правильное решение "продолжать строительство жилого дома", то эта ошибка первого рода повлечет материальный ущерб; если же принято неправильное решение "продолжать строительство" несмотря на опасность обвала дома, то эта ошибка второго рода может привести к многочисленным жертвам. Иногда, наоборот, ошибка первого рода влечет более тяжелые последствия.

Естественно, правильное решение может быть принято также в двух случаях, когда принимается правильная гипотеза или отвергается неверная гипотеза.

Вероятность совершения ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают . Чаще всего уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значимости 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста имеется риск допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Конспект лекций по теории вероятностей И математической статистике

И математической статистике... Для специальности Управление информационными... ресурсами...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Лекция 15. Проверка статистических гипотез.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Лекция 1. Предмет теории вероятностей и математической статистики и их роль в экономике и менеджменте
Теория вероятностей – специальный раздел курса высшей математики, занимающийся изучением математических закономерностей массовых однородных случайных явлений. Следует

Понятие случайного эксперимента.
Реализация намеченного действия, приводящая к некоторому результату, называется экспериментом (опытом). Если, исходя из условий, описывающих эксперимент, его результат предсказуем, то такой экспери

Пространство элементарных событий.
Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий События

Совместные и несовместные события.
Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого. Примеры: попадание в неразрушаемую цель д

Свойства операций над событиями.
Некоторые свойства операций над событиями постулируются, другие легко могут быть получены с помощью диаграмм Венна. Приведем без доказательства основные из этих свойств.  

Алгебра и сигма-алгебра событий.
Пусть является пространством всех элементарных исходов для какого-нибудь случайного эксперимента, каждому результату которого соответствует

Теорема. Эквивалентные события имеют одинаковые вероятности, т.е. если , то .
Доказательство. Действительно, каждый элементарный исход события является таким же элементарным

Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов.
Классическое определение вероятности имеет ограниченную применимость. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Во многих случаях более удобным ока

Геометрические вероятности.
  Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, связанный с его неприменимостью к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят понятие геометрической вероятнос

Аксиоматическое построение теории вероятностей.
Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А.Н. Колмогоровым, элементарное соб

Полная группа событий.
Множество попарно несовместных событий называют полной группой событий, если при любом исходе случайного эксперимента непременно наступает одно из событий, входящих в это множество

Условная вероятность.
Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет. Вероятность события , вычи

Формула сложения вероятностей.
Теорема: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Теорема: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий.
  .   Проиллюстрируем различие в применении формул вероятности произведения событий для зависимых и нез

Формула полной вероятности.
Пусть событие может произойти только с одним из несовместных событий

Формула Байеса
  Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событ

Правила суммы и произведения.
Правило суммы – если элемент а может быть выбран способами, а элемент b – m способами, то один из этих

Случай непостоянной вероятности появления события в опытах
  Мы предполагали, что вероятность наступления события в каждом из опытов постоянна. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производятся в неоди

Понятие потока событий.
Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания. Она может рассматриваться как математическая модель простейшего потока событий с интенсивностью

Событий с использованием функций и плотностей распределения
Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одн

Закон распределения дискретной случайной величины.
Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями, т.е. совокупность пар чисел ()

Функция распределения случайной величины и ее свойства.
Как уже отмечалось, дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ неприменим для непрерывных случайных величин, так как невозмо

Свойства функции распределения
Приведем ряд свойств функции распределения, непосредственно следующих из ее определения. 1. Функция распределения принимает значения из промежутка

Свойства плотности распределения вероятностей
1. Действительно, так как функция распределения неубывающая функция, то е

Математическое ожидание случайной величины
Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение случайной величины, т.е. приближенно равно ее среднему значению (вероятностный смысл математического ожидания). Иногда знания этой х

Свойства математического ожидания
Прежде чем формулировать свойства математического ожидания необходимо пояснить смысл арифметических операций ,

Дисперсия случайной величины и ее свойства.
  На практике часто требуется оценить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, акции двух компаний могут приносить в среднем одинаковые дивиденды, однако вл

Среднее квадратическое отклонение.
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонен

Биномиальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия.
Закон распределения случайной величины числа появлений события в схеме Бернулли име

Распределение Пуассона.
Ранее отмечалось, что если при увеличении числа испытаний произведение остается постоянным, то биномиальное распределение п

Геометрическое распределение
Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает значения

Равномерное распределение.
Непрерывная случайная величина считается равномерно распределеннойна отрезке (a,b), если ее плотность вероятности имеет вид:

Показательное распределение.
Показательным (экспоненциальным) распределением непрерывной случайной величины называется

Лекция 9. Нормальное распределение и его свойства
  Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами

Свойства функции Гаусса.
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса. Исследуем поведение функции плотности вероятности

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал.
Часто требуется определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Эта вероятность может быть выражена в виде разности функции распределения вероятности в граничных точках это

Nbsp;   Отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм».
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине от математичес

Лекция 10. Многомерные случайные величины
  До сих пор мы рассматривали случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом (одномерные случайные величины). Например, число очков, которое может выпасть пр

Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар

Совместная функция распределения двух случайных величин
  Функция , определяющая для каждой пары чисел вероятность того, что

Свойства совместной функции распределения двух случайных величин
  1. Значениясовместной функции распределения удовлетворяют неравенству: . 2.

Непрерывной двумерной случайной величины
  Непрерывную двумерную случайную величину можно задать с помощью плотности распределения. Плотность совместного распределения вероятностей

Независимые случайные величины
  Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Корреляционный момент
Характеристикой зависимости между случайными величинами и служит математическое ожи

Свойства коэффициента корреляции
1. 2. Если , то

Неравенство Чебышева
  Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше, чем

Теорема Чебышева.
Если - попарно независимые случайные величины, причем их дисперсии ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни был

Центральная предельная теорема.
Причину чрезвычайно широкой распространенности случайных величин, описывающихся нормальным распределением, объясняет центральная предельная теорема, доказанная А.М. Ляпуновым.

Лекция 12. Выборочный метод анализа свойств генеральной совокупности.
Предметом математической статистики является изучение случайных событий и случайных величин по результатам наблюдений. Совокупность предметов или явлений, объединенных каким-ли

Способы отбора
  На практике применяются различные способы отбора, которые можно подразделить на два вида: · Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятс

Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение исследуемого параметра наблюдалось

Полигон и гистограмма
Графически статистическое распределение представляется в частности, с помощью полигона и гистограммы. Полигоном частот

Эмпирическая функция распределения
  Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Обозначим через число наблюдений, при которы

Важнейшие свойства статистических оценок
Пусть требуется изучить некоторый количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет п

Выборочные среднее и дисперсия
  Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n. Выборочным средним

Надежность и доверительный интервал.
До сих пор мы рассматривали точечные оценки, т.е. такие оценки, которые определяются одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения известно. Требуется оценить неи

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
  Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения неизвестно. Тре

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения s нормального распределения
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально и требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение s по исправленному выборочному среднему к

Критические точки.
После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества, одно из которых содержит значения критерия, при кот

Критерий согласия Пирсона о виде распределения.
  Если закон распределения неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид , то проверяют нулевую г

Лекция 16. (УИР) Понятие о регрессионном анализе
Две или несколько случайных величин могут быть связаны либо функциональной, либо статистической (стохастической) зависимос

Понятие о регрессионном анализе
  При рассмотрении взаимосвязей, как правило, рассматривают одну из величин (X) как независимую (объясняющую), а другую (Y) как зависимую (объясняемую). При этом изменение первой из н

Линейная регрессия
  Если функция регрессии линейна, то говорят о линейной регрессии. Линейная регрессия (линейное уравнение) является распространенным (и простым) видом зависимо

Показательная модель.
  Показательная функция может использоваться при анализе изменения переменной Y с постоянным темпом прирос

Лекция 17 (УИР). Понятие о корреляционном анализе.
  Экономические явления и процессы находятся в тесной взаимосвязи, и исследование этой взаимосвязи играет важную роль в экономических исследованиях. Знание взаимосвязей отдельных экон

А. Парная корреляция
Уравнение как линейной, так и нелинейной регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в каче

Оценка значимости уравнения регрессии в целом
  Оценка значимости (качества) уравнения регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера (F-теста). При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэфф

Оценка значимости отдельных параметров регрессии
По каждому из параметров определяется его стандартная ошибка. Стандартная ошибка линейного коэффициента регрессии о

Б. Множественная корреляция
Множественная регрессия широко используется при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и т.д. Основной целью корреляционного анализа в данном случае является построен

Лекция 18 (УИР). Цепи Маркова с дискретным временем
  Цепи Маркова широко используются в экономических исследованиях – в частности, при изучении систем массового обслуживания. Примерами процессов массового обслуживания могут служить, в

Однородные цепи Маркова
  Однородной называют цепь Маркова, для которой условная вероятность перехода из состояния

Переходные вероятности. Матрица перехода.
  Переходной вероятностью называют условную вероятность того, что из состояния

Равенство Маркова
  Обозначим через вероятность того, что в результате n шагов (испытаний) система перейдет из состояния

Лекция 19 (УИР). Цепи Маркова с непрерывным временем.
Марковский случайный процесс называется цепью Маркова с непрерывным временем, если переходы системы из состояние в состояние происходят не в фиксированные

Уравнения Колмогорова
Пусть система имеет конечное число состояний и случайный процесс, протекающий в ней, характеризуется некоторыми вероятностями нахождения системы в каждом из состояний. В случае марковской

Финальные вероятности состояний системы
Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, то имеет смысл говорить о предельном поведении вероятностей при

Лекция 20 (УИР). Системы массового обслуживания.
Марковский случайный процесс с непрерывным временем характерен для систем массового обслуживания (СМО). Поступающие в случайные моменты времени в СМО заявки обслужи

А. Одноканальная модель с отказами
Простейшая одноканальная модель СМО характеризуется показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. Плотность распределен

Б. Одноканальная модель с ожиданием
Пусть СМО по-прежнему имеет один канал, но заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Предположим, что данная система (очередь + обслужив

Многоканальные модели
  Ограничимся рассмотрением случая многоканальной СМО с отказами.   В многоканальных

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги