Трансфинитная индукция.

 

Понятие мощности множества является обобщением понятия количества элементов конечного множества. А число элементов во множестве – это натуральное число. Но над натуральными числами можно производить арифметические операции. Эти операции отражают некоторые операции над множествами. Например, сложение натуральных чисел соответствует сложению двух непересекающихся конечных множеств. Если в одном множестве элементов, а в другом элементов, то в их сумме будет элементов.

Аналогично определяются операции над мощностями (кардинальными числами) как конечных, так и бесконечных множеств. Мощности можно складывать, как складывают натуральные числа.

Определение 1: Если мощность некоторого множества равна , мощность множества равна , причём и не пересекаются, то мощность множества будет равна .

Замечание: Для сложения мощностей можно использовать следующие арифметические свойства:

- коммутативность,

- ассоциативность.

Так как свойства бесконечных множеств отличаются от свойств конечных множеств (например, всякое бесконечное множество эквивалентно своему собственному подмножеству, - это свойство можно взять за определение бесконечного множества), то и арифметика бесконечных кардинальных чисел отличается от арифметики натуральных чисел.

Для дальнейших рассуждений введём следующие стандартные обозначения мощностей множеств. Мощность счетного континуума обычно обозначают первой буквой древнееврейского алфавита , называемой «алеф». Мощность конечного множества - . Мощность множества всех подмножеств множества обозначают - , где - множество мощности континуум (например, множество точек отрезка ).

Для введенных в рассмотрение кардинальных чисел имеют место следующие равенства:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

Первое из этих равенств означает, что объединение конечного и счетного множества являйся счетным множеством. Из второго следует, что сумма двух счётных множеств является счётным множеством. Третье равенство означает, что объединение счётного множества и множества мощности континуум есть множество мощности континуум. Остальные правила можно прочесть аналогично.

Если мощность множества равна , а мощность множества равна , то мощность множества обозначается .

Для умножения мощностей (кардинальных чисел) имеют место следующие законы:

- коммутативность;

- ассоциативность;

- дистрибутивность;

;

;

.

Например, последнее из этих равенств может означать, что множество точек отрезка равномощно множеству точек квадрата.

Определим теперь возведение кардинальных чисел в степень. Для этого заметим, что если множество содержит элементов, а множество содержит элементов, то множество всевозможных функций, определенных на множестве со значениями во множестве равно (множество этих функции обозначим ).

В частности, число всех подмножеств множества , как показано выше, равно (т.е. числу всех функций со значениями 0 и 1).

Мы уже показали раньше, что для любой мощности выполнено неравенство , кроме того . Определим теперь степень для любых кардинальных чисел.

Определение 2: Пусть множество имеет мощность , множество имеет мощность , тогда есть мощность множества всевозможных функций из множества во множество , т.е. .

Ниже даётся понятие порядковых типов для произвольных множеств.

Кардинальные числа - это обобщение понятия числа элементов во множестве. Но натуральные числа не только могут показывать, сколько элементов в конечном множестве, натуральные числа используются и для того, чтобы узнать какой по счёту данный элемент. Но одно и то же множество может быть упорядочено по-разному. Например, конечное множество из элементов может быть упорядочено различными способами. Множества натуральных, целых, рациональных чисел все равномощны, но они по-разному упорядочены.