рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Задачи для самостоятельной работы.

Задачи для самостоятельной работы. - раздел Математика, КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ 1) Доказать, Что Два Множества Равны Тогда И Только Тогда, Когда Их Пересечен...

1) Доказать, что два множества равны тогда и только тогда, когда их пересечение и объединение совпадают.

2) Обозначим через множество всех дробей со знаменателем :

, ,..., . Найти и .

3) Известно, что из 100 студентов в секциях спортклуба занималось: 28 человек - в гимнастической секции; 30 - в баскетбольной; 42 - в волейбольной; 10 - в гимнастической и волейбольной одновременно; 5 человек - в волейбольной и баскетбольной; во всех трех секциях занималось 3 человека. Найти:

а) сколько студентов занималось только в одной волейбольной секции;

б) сколько студентов не занималось ни в одной секции?

4) Пусть - множества. Доказать следующие тождества:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

5) Упростить выражения:

;

;

.

6) Доказать, что имеют место следующие равносильности или следствия:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

7) Пусть даны конечные множества: , , , . Найти:

;

;

;

.

 

8) Какие из перечисленных ниже множеств являются бинарными отношениями, в частности функциями? Для каждой функции указать область определения и множество значений:

а) множество пар целых чисел, из которых первое равняется квадрату второго;

б) множество пар жителей Луганска, из которых первый - сын второго;

в) множество всех целых чисел, кратных 5;

г) множество всех пар, подобных между собой треугольников;

д) множество всех пар, образованных из противоположных между собой свободных векторов.

9) Какие из следующих отображений являются сюръекциями, биекциями?

а) отображение такое, что ;

б) отображение отрезка в отрезок такое, что ;

в) отображение такое, что ;

г) отображение такое, что ;

д) отображение множества свободных векторов во множество действительных чисел .

10) Привести примеры взаимно однозначных отображений:

а) множества в себя;

б) отображения на множество положительных действительных чисел;

в) отрезка на отрезок ;

г) множества во множество .

11) Пусть , . Сколько существует бинарных отношений из множества во множество ? Сколько существует функций из множества во множество ?

12) На множестве задано бинарное отношение . Найти: , , , , .

13) Какие из следующих бинарных отношений являются рефлексивными, симметричными, транзитивными?

а) отношение параллельности прямых на множестве прямых плоскости;

б) отношение перпендикулярности прямых на множестве всех прямых плоскости;

в) отношение делимости целых чисел;

г) отношение взаимной простоты натуральных чисел;

д) отношение дополнения подмножеств данного множества.

14) Доказать, что если отношения и рефлексивны, то рефлексивными будут также следующие отношения:

, , , .

15) Доказать, что если отношения и симметричны, то симметричными будут также следующие отношения:

, , , .

16) Доказать, что если отношения и антисимметричны, то антисимметричны также следующие отношения: и .

17) Построить бинарное отношение, обладающее следующими свойствами:

а) рефлексивное, симметричное, но не транзитивное;

б) рефлексивное, транзитивное, но не симметричное;

в) рефлексивное, антисимметричное, но не транзитивное;

г) антисимметричное, транзитивное, но не рефлексивное.

18) Доказать, что отношение на множестве является одновременно эквивалентностью и частичным порядком в том и только в том случаи, когда .

19) На множестве действительных чисел определим отношение следующим образом: , где - множество рациональных чисел. Доказать, что - отношение эквивалентности.

20) Доказать, что множество действительных чисел из отрезка несчётно.

21) Доказать, что конечное множество не эквивалентно никакому своему собственному подмножеству.

22) Доказать, что любое множество попарно непересекающихся открытых интервалов на действительной числовой оси не более, чем счетно.

23) Доказать, что множество точек двух окружностей эквивалентны между собой.

24) Доказать, что объединение конечного или счетного числа множеств мощности имеет мощность , где – мощность континуум.

25) Доказать, что множество, всех монотонных функций на действительной прямой имеет мощность (континуум).

26) Доказать, что мощность множества всех функций, заданных на сегменте , имеет мощность, большую С.


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... имени ВЛАДИМИРА ДАЛЯ... Фесенко Т Н...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Задачи для самостоятельной работы.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
(для студентов специальности «Прикладная математика», «Информатика», «Системный анализ», «Компьютерные системы и сети»)

Прямое произведение множеств. Бинарные отношения.
  Пусть и - произвольные элементы. Из элементов

Представление бинарных отношений графами.
Понятие графа используется в математике для наглядного представления бинарных отношений, заданных на конечных множествах. Граф представляет собой конечный набор точек плоскости (

И порядка. Фактор-множество.
  В данном параграфе будут рассмотрены некоторые виды бинарных отношений. Рассмотрим непустое множество и зададим на нём бинар

Булевы алгебры.
  Определение 1: Пусть - отношение порядка на множестве

Определение 7: Дистрибутивная решетка с отличными друг от друга 0 и 1, в которой всякий элемент имеет дополнение, называется булевой алгеброй.
Отметим, что теория решеток и теория булевых алгебр – это самостоятельные разделы алгебры. Определение 8: Линейно упорядоченное множество, удовлетворяющее условию мини

Мощность множества. Сравнение мощностей.
  Пусть даны конечные множества и , число элементов которых равно

Определение 2: Множества, обладающие одинаковой мощностью, называются равномощными (эквивалентными).
Два конечных множества будут равномощными, если в них содержится одинаковое число элементов. Если имеем дело с бесконечными множествами, то вопросы, связанные с мощностями, решаются путём установле

Определение 3: Множество, эквивалентное множеству чисел натурального ряда, называется счетным.
Натуральный ряд чисел – это счётное множество. Все множества, равномощные множеству , имеют такую же мощность. Теорема 4:

Трансфинитная индукция.
  Понятие мощности множества является обобщением понятия количества элементов конечного множества. А число элементов во множестве – это натуральное число. Но над натуральными числами

Определение 3: Если два линейно упорядоченных множества изоморфны, то их называют подобными множествами.
Подобие для линейно упорядоченных множеств - есть бинарное отношение между линейно упорядоченными множествами, являющееся отношением эквивалентности. Фактор-множество по этому отношению эквивалентн

Отрицание – обозначается ,читается:«не » или «неверно, что ».
2) Дизъюнкция (логическое сложение), обозначаемое(читается «и

Формулы алгебры логики. Тавтологии.
  В алгебре выводятся формулы, которые остаются верными, какие бы числа не подставляли вместо букв, входящих в эти формулы. Подобным образом в алгебре высказываний конструируются форм

Доказательство.
Необходимость: Пусть формулы и равносильны. Тогда, по определению, для люб

Определение 3: Множество всех значений таких, что предикат при этих значениях принимает значение «истина», называется областью истинности предиката.
Определение 4: Предикат , определённый на множестве , называе

Формулы и тавтологии логики предикатов.
  При введении определения формул логики предикатов будем использовать следующие обозначения (алфавит): 1) – индивид

Формальный язык логики высказываний.
  Таблицы истинности в логике высказываний позволяют ответить на многие вопросы. Например, является ли данная формула тавтологией, противоречием или выполнимой формулой; влечёт ли она

Предикатов. Свойства теорий первого порядка.
  Для записи формул логики предикатов используется следующий алфавит: скобки, запятые, символы исчисления высказываний (отрицание

Задачи для самостоятельной работы.
1.Определить истинность следующих высказываний, если , ,

Определение формулы и суперпозиции.
  Пусть имеется счетное множество переменных , где

Принцип двойственности.
  Пусть – некоторое подмножество множества булевых функций: .

Линейные функции. Монотонные функции.
  Рассмотрим систему функций: , ,

Теорема Поста.
  В предыдущем параграфе были рассмотрены некоторые классы булевых функций. В каждый класс попадают функции, обладающие определённым свойством. Для удобства введём следующие обозначен

Задачи для самостоятельной работы.
1) Сколько имеется различных двоичных наборов длины ? 2) Сколько имеется

Правила комбинаторики.
  Начнем с основных принципов комбинаторики, т.е. с правил. Существует два общих правила комбинаторики: правило сложения и правило умножения. Правило слож

Определение 2: Множество с заданным на нем порядком называется упорядоченным множеством.
Очевидно, что множество, содержащее более одного элемента, можно упорядочить не единственным способом. Например, из двух букв и

Определение 8: Конечные упорядоченные множества называются размещениями.
Теорема 3: Количество всех размещений из элементов по элемен

Определение 10: Конечные неупорядоченные множества называются сочетаниями.
Таким образом, сочетания – это такая выборка элементов, при которой их порядок совершенно не важен. Сочетаний из элементов по

Свойства сочетаний.
  Одной из наиболее распространённых комбинаторных формул является формула числа сочетаний. Для упрощения подсчётов и для доказательства некоторых утверждений удобно использовать след

Комбинаторика с повторениями.
  Одна из особенностей комбинаторных задач заключается в том, что в ней исключительно большую роль играет точность формулировки. Обычно в задаче по комбинаторике необходимо определить

Определение 2: Группы, составленные из объектов, которые принадлежат одному из типов элементов, называют сочетаниями с повторениями.
Число всевозможных сочетаний с повторениями обозначают следующим символом: . Сочетания с повторениями, как было показано в примере

Упражнения для самостоятельной работы.
  1. Сколько всегочетырёхзначных натуральныхчисел? Сколько всего четырёхзначных натуральныхчисел, в записи которых нет одинаковых цифр?  

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги