Прямое произведение множеств. Бинарные отношения.

 

Пусть и - произвольные элементы. Из элементов и можно образовать двухэлементное множество . Порядок указания элементов в этом множестве может быть любым. В целом множество остаётся тем же: . Определим упорядоченную пару , в которой - первая компонента, а – вторая. Если , то , т.к. для упорядоченной пары первая компонента – , а вторая – .

Определение 1: Прямым или декартовым произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар, таких, что первая компонента принадлежит множеству , а вторая – множеству . Другими словами:

.

Например, пусть , . Тогда . Упорядоченная пара может принадлежать или не принадлежать прямому произведению. Например, пара , а другая пара .

В общем случае, когда , прямое произведение не коммутативно:

.

Число упорядоченных пар, входящих в прямое произведение, можно посчитать следующим образом. Если – конечное множество, содержащее элементов, а – конечное множество, содержащее элементов, то их прямое произведение содержит элементов.

Прямым произведением можно также перемножать три и более множеств. Пусть А, В, С - произвольные множества, тогда их прямое произведение – это множество упорядоченных троек:

.

Пусть - произвольные множества. Тогда их прямое произведение имеет вид:

.

В частном случае можно рассматривать прямое произведение , которое называется декартовым квадратом множества и обозначается . Например, каждая точка на плоскости имеет две действительные координаты, значит, множество точек плоскости можно обозначить и рассматривать декартов квадрат: . По аналогии: - множество точек пространства.

Аналогично определяется - я декартова степень множества :

.

В частности – есть n-мерное пространство; – единичный куб n-мерного пространства. Если – окружность радиуса 1, то – поверхность цилиндра, – поверхность тора.

Пусть - произвольные множества, - их прямое произведение.

Определение 2: Всякое подмножество прямого произведения называется - местным (или - арным) отношением на множествах . Обозначают: .

Замечание: Если - это отношение, то по определению: .

При отношение называется унарным ().

При отношение называется бинарным ().

При отношение называется тернарным () и т. д.

Особый интерес представляют бинарные отношения, которые будут рассмотрены ниже более детально.

Определение 3:Бинарным отношением между элементами множеств и называют всякое подмножество прямого произведения . Пишут: . При этом само множество называют универсальным бинарным отношением. Всякое бинарное отношение между элементами множеств и является подмножеством универсального множества.

Таким образом, бинарные отношения состоят из упорядоченных пар элементов некоторых множеств. Если некоторая пара принадлежит бинарному отношению, т. е. , то говорят, что элемент находится в отношении с элементом . Можно встретить такое обозначение: (читается: находится в отношении с элементом ).

Замечание: При задании бинарного отношения обязательным является указание множества, на котором это отношение рассматривается.

Например, рассмотрим некоторые бинарные отношения на множестве всех натуральных чисел . Пусть , тогда , где . На это множестве, как и на любом числовом множестве, можно рассматривать отношения: <, >, =.

На множестве всех прямых плоскости можно рассмотреть отношение параллельности.

Определение 4: Пусть - бинарное отношение на множествах и . Множество всех , таких, что , называется областью определения бинарного отношения (или первой проекцией бинарного отношения).

Согласно определению: - это множество всех первых элементов пар, принадлежащих .

Определение 5:Вторая проекция бинарного отношения (или множество значений отношения ) – это множество, состоящее из вторых компонент упорядоченных пар, принадлежащих отношению . Обозначают: .

Из последних определений видно, что , .

Для наглядности восприятия бинарных отношений их можно изображать на плоскости в виде графиков и в виде графов.

Определение 6: График бинарного отношения - это множество точек плоскости таких, что .

Таким образом, графиком бинарного отношения является некоторая область в плоскости . Область определения отношения - это проекция на ось , а множество значений - проекция на ось .