Задачи для самостоятельной работы.

1.Определить истинность следующих высказываний, если , , , :

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10).

2. Могут ли следующие высказывания быть ложными? Если да, то каковы должны быть значения высказываний P, Q, R?

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

3.В следующих сложных высказываниях выделить элементарные высказывания, обозначить их буквами и записать с помощью логических символов:

1) и ;

2) данное число делится на 2 и на 3, или не делится на 6;

3) если одно слагаемое делится на 3 и сумма делится на 3, то второе слагаемое делится на 3;

4) если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны или делят углы пополам, то данный параллелограмм – ромб;

5) если целое число – положительно и чётно, то оно простое, или не больше двух;

4. Определить, является ли данная последовательность символов формулой:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

5.Построить таблицы истинности для следующих формул, сделать соответствующие выводы:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) .

6.Являются ли следующие формулы тавтологиями?

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) .

7. Выразить все основные логические операции через конъюнкцию и отрицание; через дизъюнкцию и отрицание.

8.Доказать следующие равносильности двумя способами (с помощью преобразований и с помощью истинностных таблиц):

9.Доказать, что если формулы и тавтологии, то тоже тавтология.

10. Прочитать следующие высказывания. Какие из них принимают истинные значения?

1) ; 4) ;

2) ; 5) .

3) ;

11.Прочитать следующие высказывания. Какие из них принимают истинные значения?

1) ; 4) ;

2) ; 5) ;

3) ; 6) .

12.Используя логические символы, записать следующие высказывания. Построить к ним отрицание.

1) Числа 5 и 12 не имеют общих делителей, отличных от .

2) Если натуральное число делится на 6, то оно делится на 2 и на 3.

3) Для любого целого числа существует целое число такое, что или .

4) Каким бы ни было натуральное число , найдётся число, большее, чем .

5) Существует наименьшее натуральное число.

6) Система линейных уравнений не совместна.

7) Не существует рационального числа такого, что .

8) Для всяких целых чисел и существует целое число такое, что .

13. Доказать следующие равносильности:

1) ;

2) ;

3) .

14. Доказать законы де Моргана для предикатов.

15. Найти множество истинности предикатов, определённых на множестве :

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

16. Найти множество истинности следующих двуместных предикатов, определенных на множестве :

1) ; 3) ;

2) ; 4)

17. Указать свободные и связные вхождения переменных в следующих формулах:

1) ;

2) ;

3) .

18.Записать собственные аксиомы для формальной теории:

а) групп; б) колец; в) полей.

19. Выполнимы ли следующие формулы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

20. Доказать, что бескванторная формула теории предикатов тождественно истинна тогда и только тогда, когда она может быть получена подстановкой из некоторой тождественно истинной формулы исчисления высказываний.