рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Определение формулы и суперпозиции.

Определение формулы и суперпозиции. - раздел Математика, КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ   Пусть Имеется Счетное Множество ...

 

Пусть имеется счетное множество переменных , где . Рассмотрим конечную или счетную систему функций алгебры логики над этим множеством:

. (*)

Введем понятие формулы над этой системой функций.

Определение 1 (интуитивное):

1. Выражение называется формулой над рассматриваемой системой функций.

2. Выражение называется формулой над системой функций (*), если – формула или переменная из множества , а – произвольная функция из системы (*).

Сопоставим каждой формуле функцию алгебры логики.

Определение 2 (индуктивное):

1. Формуле , где поставим в соответствие функцию , где .

2. Формуле , где выражения при являются либо формулами, либо переменными из множества , а – функция системы (*), поставим в соответствие функцию . Здесь, если – переменная, то совпадает с ; если – формула, то – функция, сопоставленная этой формуле.

Полученные в соответствии с этим определением функции называются суперпозициями функций системы (*).

Очевидно, функция , является суперпозицией функций рассмотренной системы (*).

Будем говорить, что функция получена из функции путем переименования переменных.

Например, функция получена из функции путем переименования переменных.

Нетрудно видеть, что при переименовании переменных возможно появление новых переменных, исчезновение старых переменных, перестановка переменных местами и отождествление переменных.

Пусть формула построена из функций . Можно считать, что функции зависят от одних и тех же переменных.

Определение 3: Две формулы называются эквивалентными, если им сопоставлены равные функции.

Эквивалентные формулы будем соединять знаком равенства.

Например, формулы и реализуют каждая функцию . Поэтому . Аналогично: .

Формулы, в построении которых участвуют операции , в силу специфики записи этих формул, содержат скобки. Как и в элементарной алгебре, можно ввести сокращенную запись формулы, вводя порядок действий, считая, что вначале выполняется , далее и затем .

Ниже будет рассмотрена очень важная теорема, называемая теоремой о разложении. Для её формулировки примем следующие обозначения: , . Легко заметить, что если , то если , то , где .

Теорема 1 (о разложении): Пусть – произвольная функция алгебры логики. Тогда ее можно представить в следующей форме:

. (**)

(Здесь мы употребляем сокращенную запись ).

Доказательство: Заметим сначала, что и что тогда и только тогда, когда , ,..., . Рассмотрим теперь произвольные и пусть . Тогда в левой части соотношения получим . Правая часть в силу сделанного замечания также дает . Теорема доказана.

Большое практическое значение имеют следствия из этой теоремы.

Следствие 1: Если , то представление (**) принимает следующий вид:

.

Следствие 2: Если , то представление (**) превращается в следующее равенство:

.

Это разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (С.Д.Н.Ф.) функции . Оно определено для любой функции из множества булевых функций , не равной константе .

Пример: Пусть функция задана таблицей:

 

Рассмотрим наборы, на которых функция принимает значение : , , , . По этим наборам строим СДНФ для функции :

.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... имени ВЛАДИМИРА ДАЛЯ... Фесенко Т Н...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определение формулы и суперпозиции.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
(для студентов специальности «Прикладная математика», «Информатика», «Системный анализ», «Компьютерные системы и сети»)

Прямое произведение множеств. Бинарные отношения.
  Пусть и - произвольные элементы. Из элементов

Представление бинарных отношений графами.
Понятие графа используется в математике для наглядного представления бинарных отношений, заданных на конечных множествах. Граф представляет собой конечный набор точек плоскости (

И порядка. Фактор-множество.
  В данном параграфе будут рассмотрены некоторые виды бинарных отношений. Рассмотрим непустое множество и зададим на нём бинар

Булевы алгебры.
  Определение 1: Пусть - отношение порядка на множестве

Определение 7: Дистрибутивная решетка с отличными друг от друга 0 и 1, в которой всякий элемент имеет дополнение, называется булевой алгеброй.
Отметим, что теория решеток и теория булевых алгебр – это самостоятельные разделы алгебры. Определение 8: Линейно упорядоченное множество, удовлетворяющее условию мини

Мощность множества. Сравнение мощностей.
  Пусть даны конечные множества и , число элементов которых равно

Определение 2: Множества, обладающие одинаковой мощностью, называются равномощными (эквивалентными).
Два конечных множества будут равномощными, если в них содержится одинаковое число элементов. Если имеем дело с бесконечными множествами, то вопросы, связанные с мощностями, решаются путём установле

Определение 3: Множество, эквивалентное множеству чисел натурального ряда, называется счетным.
Натуральный ряд чисел – это счётное множество. Все множества, равномощные множеству , имеют такую же мощность. Теорема 4:

Трансфинитная индукция.
  Понятие мощности множества является обобщением понятия количества элементов конечного множества. А число элементов во множестве – это натуральное число. Но над натуральными числами

Определение 3: Если два линейно упорядоченных множества изоморфны, то их называют подобными множествами.
Подобие для линейно упорядоченных множеств - есть бинарное отношение между линейно упорядоченными множествами, являющееся отношением эквивалентности. Фактор-множество по этому отношению эквивалентн

Задачи для самостоятельной работы.
1) Доказать, что два множества равны тогда и только тогда, когда их пересечение и объединение совпадают. 2) Обозначим через множес

Отрицание – обозначается ,читается:«не » или «неверно, что ».
2) Дизъюнкция (логическое сложение), обозначаемое(читается «и

Формулы алгебры логики. Тавтологии.
  В алгебре выводятся формулы, которые остаются верными, какие бы числа не подставляли вместо букв, входящих в эти формулы. Подобным образом в алгебре высказываний конструируются форм

Доказательство.
Необходимость: Пусть формулы и равносильны. Тогда, по определению, для люб

Определение 3: Множество всех значений таких, что предикат при этих значениях принимает значение «истина», называется областью истинности предиката.
Определение 4: Предикат , определённый на множестве , называе

Формулы и тавтологии логики предикатов.
  При введении определения формул логики предикатов будем использовать следующие обозначения (алфавит): 1) – индивид

Формальный язык логики высказываний.
  Таблицы истинности в логике высказываний позволяют ответить на многие вопросы. Например, является ли данная формула тавтологией, противоречием или выполнимой формулой; влечёт ли она

Предикатов. Свойства теорий первого порядка.
  Для записи формул логики предикатов используется следующий алфавит: скобки, запятые, символы исчисления высказываний (отрицание

Задачи для самостоятельной работы.
1.Определить истинность следующих высказываний, если , ,

Принцип двойственности.
  Пусть – некоторое подмножество множества булевых функций: .

Линейные функции. Монотонные функции.
  Рассмотрим систему функций: , ,

Теорема Поста.
  В предыдущем параграфе были рассмотрены некоторые классы булевых функций. В каждый класс попадают функции, обладающие определённым свойством. Для удобства введём следующие обозначен

Задачи для самостоятельной работы.
1) Сколько имеется различных двоичных наборов длины ? 2) Сколько имеется

Правила комбинаторики.
  Начнем с основных принципов комбинаторики, т.е. с правил. Существует два общих правила комбинаторики: правило сложения и правило умножения. Правило слож

Определение 2: Множество с заданным на нем порядком называется упорядоченным множеством.
Очевидно, что множество, содержащее более одного элемента, можно упорядочить не единственным способом. Например, из двух букв и

Определение 8: Конечные упорядоченные множества называются размещениями.
Теорема 3: Количество всех размещений из элементов по элемен

Определение 10: Конечные неупорядоченные множества называются сочетаниями.
Таким образом, сочетания – это такая выборка элементов, при которой их порядок совершенно не важен. Сочетаний из элементов по

Свойства сочетаний.
  Одной из наиболее распространённых комбинаторных формул является формула числа сочетаний. Для упрощения подсчётов и для доказательства некоторых утверждений удобно использовать след

Комбинаторика с повторениями.
  Одна из особенностей комбинаторных задач заключается в том, что в ней исключительно большую роль играет точность формулировки. Обычно в задаче по комбинаторике необходимо определить

Определение 2: Группы, составленные из объектов, которые принадлежат одному из типов элементов, называют сочетаниями с повторениями.
Число всевозможных сочетаний с повторениями обозначают следующим символом: . Сочетания с повторениями, как было показано в примере

Упражнения для самостоятельной работы.
  1. Сколько всегочетырёхзначных натуральныхчисел? Сколько всего четырёхзначных натуральныхчисел, в записи которых нет одинаковых цифр?  

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги