Определение формулы и суперпозиции.

 

Пусть имеется счетное множество переменных , где . Рассмотрим конечную или счетную систему функций алгебры логики над этим множеством:

. (*)

Введем понятие формулы над этой системой функций.

Определение 1 (интуитивное):

1. Выражение называется формулой над рассматриваемой системой функций.

2. Выражение называется формулой над системой функций (*), если – формула или переменная из множества , а – произвольная функция из системы (*).

Сопоставим каждой формуле функцию алгебры логики.

Определение 2 (индуктивное):

1. Формуле , где поставим в соответствие функцию , где .

2. Формуле , где выражения при являются либо формулами, либо переменными из множества , а – функция системы (*), поставим в соответствие функцию . Здесь, если – переменная, то совпадает с ; если – формула, то – функция, сопоставленная этой формуле.

Полученные в соответствии с этим определением функции называются суперпозициями функций системы (*).

Очевидно, функция , является суперпозицией функций рассмотренной системы (*).

Будем говорить, что функция получена из функции путем переименования переменных.

Например, функция получена из функции путем переименования переменных.

Нетрудно видеть, что при переименовании переменных возможно появление новых переменных, исчезновение старых переменных, перестановка переменных местами и отождествление переменных.

Пусть формула построена из функций . Можно считать, что функции зависят от одних и тех же переменных.

Определение 3: Две формулы называются эквивалентными, если им сопоставлены равные функции.

Эквивалентные формулы будем соединять знаком равенства.

Например, формулы и реализуют каждая функцию . Поэтому . Аналогично: .

Формулы, в построении которых участвуют операции , в силу специфики записи этих формул, содержат скобки. Как и в элементарной алгебре, можно ввести сокращенную запись формулы, вводя порядок действий, считая, что вначале выполняется , далее и затем .

Ниже будет рассмотрена очень важная теорема, называемая теоремой о разложении. Для её формулировки примем следующие обозначения: , . Легко заметить, что если , то если , то , где .

Теорема 1 (о разложении): Пусть – произвольная функция алгебры логики. Тогда ее можно представить в следующей форме:

. (**)

(Здесь мы употребляем сокращенную запись ).

Доказательство: Заметим сначала, что и что тогда и только тогда, когда , ,..., . Рассмотрим теперь произвольные и пусть . Тогда в левой части соотношения получим . Правая часть в силу сделанного замечания также дает . Теорема доказана.

Большое практическое значение имеют следствия из этой теоремы.

Следствие 1: Если , то представление (**) принимает следующий вид:

.

Следствие 2: Если , то представление (**) превращается в следующее равенство:

.

Это разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (С.Д.Н.Ф.) функции . Оно определено для любой функции из множества булевых функций , не равной константе .

Пример: Пусть функция задана таблицей:

 

Рассмотрим наборы, на которых функция принимает значение : , , , . По этим наборам строим СДНФ для функции :

.