Теорема Поста.
В предыдущем параграфе были рассмотрены некоторые классы булевых функций. В каждый класс попадают функции, обладающие определённым свойством. Для удобства введём следующие обозначения:
— класс булевых функций, сохраняющих 0;
— класс функций, сохраняющих 1;
— класс линейных функций;
— класс монотонных функций;
— класс самодвойственных функций.
Все перечисленные классы функционально замкнуты.
Теперь докажем критерий полноты.
Теорема 1: (теорема Поста). Для полноты системы функций 
необходимо и достаточно, чтобы для каждого из классов 
в системе 
нашлась функция 
, ему не принадлежащая.
Доказательство.
Необходимость условия теоремы следует из того, что если некоторая система функций принадлежит любому функционально замкнутому классу, то и все суперпозиции этих функций принадлежат этому классу.
Докажем достаточность. Сначала, отождествляя переменные, упростим функции из с тем, чтобы они по-прежнему удовлетворяли условиям теоремы Поста. Затем докажем, что суперпозициями из полученных функций можно получить константы, отрицание и конъюнкцию.
Действительно, возьмем из системы функций функцию, не сохраняющую 0, и функцию, не сохраняющую 1. Отождествим в них переменные.
Пусть, например, 
, тогда 
. После отождествления переменных получим функцию 
, поэтому 
. Если 
, то и 
, значит 
. Если же 
, то 
, 
, т.е. 
.
Таким образом, если функция не принадлежит классу , то, отождествляя переменные, получим либо константу 1, либо отрицание. Аналогично, если функция не принадлежит классу , то после отождествления переменных мы получим либо константу 0, либо отрицание. В результате мы получаем обе константы или отрицание (быть может, и то и другое).
Пусть мы получим константы. Можно показать, что отрицание можно представить в виде суперпозиции. Это следует из теоремы 6 предыдущего параграфа.
Если мы получим только отрицание, то, как следует из теоремы 3 §3 суперпозицией из произвольной несамодвойственной функции и отрицания можно получить константы 0 и 1. Таким образом, мы получили функции 0, 1, 
. Из теоремы 3 и теоремы 4 §3 следует, что суперпозицией из нелинейной функции и отрицания можно получить конъюнкцию. По следствию 1 теоремы 1 §3 следует, что конъюнкция и отрицание образуют полную систему функций.
При проверке, выполняются ли для некоторой системы функций условия теоремы Поста, мы будем составлять таблицы, которые назовем таблицами Поста. Они будут иметь вид:
|
| 
|
|
|
| |
| |||||
| |||||
| |||||
|
В клетках таблицы Поста ставится плюс или минус, в зависимости от того, входит функция, стоящая в данной строке, в класс, стоящий в данном столбце, или не входит. Для полноты системы функции необходимо и достаточно (в силу теоремы Поста), чтобы в каждом столбце присутствовал хотя бы один минус. Это будет означать, что для каждого из классов в данной системе функций есть функция, не принадлежащая этому классу. Например, таблица Поста для системы функций 
имеет вид:
|
|
|
|
|
| |
| + | + | - | - | + |
| + | + | - | - | + |
|
| - | - | + | + | - |
Данная система функций является полной, т. к. выполнены условия теоремы Поста. Кроме того, видно, что если убрать одну строку (например, последнюю), то получим неполную систему (знак плюс стоит в каждой строке в столбцах).
Из этой таблицы видно, что каждая из систем функций 
, 
составляют базис полной системы.
Определение 1: Функционально замкнутые классы, отличные от пустого класса и от совокупности всех функций алгебры логики, называются собственными функционально замкнутыми классами.
Определение 2: Собственный функционально замкнутый класс называется предполным, если он не содержится ни в каком функционально замкнутом классе, отличном от самого себя и от класса всех функций алгебры логики.
Следствие (из теоремы Поста):
1. Система функций не полна тогда и только тогда, когда она целиком входит в один из классов 
.
2. Ни один из классов не содержится в другом.
3. Действительно, если бы какой-либо класс содержался в другом, то в формулировке теоремы Поста этот класс можно было бы отбросить.
Рассмотрим таблицы Поста для следующих систем функций
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
.
|
|
|
|
|
| ||
| а) |
| + + + | - + + | - - + | + - + | + + - |
| б) |
| - + + | + + + | - - + | + - + | + + - |
| в) |
| - | - | + | - | - |
| г) |
| + - + | - + - | - - - | + + + | + + - |
| д) |
| + - + | - + + | - - - | + + - | + + + |
Все рассмотренные здесь системы функций не полны, т.к. для каждой из них в таблице имеется столбец, состоящий сплошь из плюсов. Причем для каждой системы имеется ровно по одному такому столбцу, причем для разных систем эти столбцы разные. Отсюда следует, что в условии теоремы Поста нельзя отбросить ни одного из пяти классов. Действительно, для каждого из классов можно указать систему, содержащихся в нем функций (а значит, не полную), в которой для каждого из остальных четырех классов имеется функция, ему не принадлежащая.
Всякий собственный функционально замкнутый класс содержится в одном из классов.
Действительно, если некоторый функционально замкнутый класс 
не содержится ни в одном из пяти указанных классов, то для каждого из них в классе найдется функция, ему не принадлежащая. Но тогда по теореме Поста класс содержит все функции алгебры логики.
Теорема 2: Функционально замкнутые классы являются предполными и других предполных классов нет.
Доказательство: Из следствия 3 теоремы Поста следует, что других предполных классов нет, а из следствия 2 следует, что каждый из пяти перечисленных классов является предполным.
Замечание: Теорема Поста позволяет выяснить вопрос о том, является ли полная система базисом. Это удобно делать опять-таки с помощью таблиц Поста. Причем нетрудно видеть, что всякий базис не может содержать более пяти функций.
На самом деле имеет место более точный результат.
Теорема 3: Всякий базис полной системы функций не может содержать более четырех функций.
Доказательство: Заметим сначала, что если монотонная функция не сохраняет нуль, то она тождественно равна единице. Действительно, т. к. нулевой набор меньше любого другого, то из равенства на нем монотонной функции единице следует ее тождественное равенство единице (на остальных наборах значение функции не может быть меньше, чем на нулевом наборе). Аналогично, если монотонная функция не сохраняет единицу, то она тождественно равна нулю.
Возьмем теперь функцию, не сохраняющую нуль. В силу сделанного замечания, она или является немонотонной или является тождественной единице, т. е. несамодвойственной функцией. Итак, в полной системе обязательно найдется функция, не принадлежащая сразу двум предполным классам. Тогда к этой функции можно присоединить не более трех функций из рассматриваемой системы так, чтобы удовлетворялись условия теоремы Поста. Значит, в базисе не может быть более четырех функций. Что и требовалось доказать.
Замечание об общей теории функционально замкнутых классов.
Общая теория функционально замкнутых классов построена известным американским математиком Э. Постом (результат оформлен в виде монографии в 1941г.). Основным результатом этой работы является построение всех подалгебр (т.е. функционально замкнутых систем) алгебры логики.
Мы выяснили, что вопрос о полноте системы функций алгебры логики приводит к рассмотрению предполных функционально замкнутых классов. Оказывается, что целый ряд вопросов сводится к изучению других функционально замкнутых классов, не обязательно предполных. Можно ожидать, что число различных функционально замкнутых классов бесконечно и даже что их множество имеет мощность континуум. Действительно, классы естественно задавать какими-либо системами функций, их порождающими. Поскольку множество функции алгебры логики счётно, множество различных систем функций имеет мощность континуум. Конечно, различные системы функций часто порождают один и тот же класс. Но нет оснований заранее считать это отождествление настолько сильно, что число различных классов будет конечно или счётно. На самом деле оказывается, что множество классов счётно.
Множество классов удобно представлять в виде дерева, вершины которого соответствуют классам. Если один класс входит в другой, то вершину, соответствующую первому, располагаем под вершиной, соответствующей второму, причем эти вершины соединяются отрезками. Классы допускают естественное расположение по этажам. В основании дерева (в первом этаже) находится класс всех функций алгебры (обозначим его через 
). Во втором этаже — предполные классы, в третьем — классы, которые не содержатся ни в одном классе, кроме предполных; вообще в 
- м этаже – классы, которые не принадлежат предыдущим этажам и не содержатся ни в одном классе, не принадлежащим этим 
этажам. Число этажей бесконечно. Существенно, что в каждом этаже имеется конечное число классов (и даже ограниченное некоторой константой) и что если класс содержится в некотором классе из - го этажа, то он или сам принадлежит - му этажу или содержится в некотором классе -го этажа. В частности, в каждый класс - го этажа входит лишь конечное число (ограниченное общей константой) классов следующего этажа и что в нем существует конечный базис, причем число элементов в базисах для всех таких классов ограниченно. Не следует думать, что, перебирая таким способом этажи, мы рано или поздно рассмотрим все классы, т.е. что каждый класс принадлежит какому-либо этажу. Однако оказывается, что этим свойством обладают все классы, кроме конечного числа классов, в некотором смысле предельных («классов бесконечного этажа»). Однако мы не приводим здесь описания всех классов.