Число всевозможных сочетаний с повторениями обозначают следующим символом: .
Сочетания с повторениями, как было показано в примере, могут быть сведены к перестановкам с повторениями, поэтому имеем формулу:
.
Доказательство. Пронумеруем элементы исходного множества числами от 1 до . Пусть в одно из сочетаний с повторениями вошло элементов под номером 1, элементов под номером 2, …, элементов под номером . Поскольку составляются группы из объектов, то .
Изобразим это сочетание с повторениями в виде последовательности из нулей и единиц. Единица будет обозначать каждый отдельный объект сочетания, нуль – разделитель между группами.
Поскольку сумма всех равна , то в построенной последовательности содержится единиц, а так как имеется различных по составу групп, то разделителей (нулей) будет . Верно обратное: каждой такой последовательности соответствует сочетание с определенными повторениями.
Таким образом, задача свелась к поиску ответа на вопрос: сколько различных последовательностей длины можно составить из единиц и нулей? Это есть число перестановок с повторениями из единиц и нулей:
.
А так как , то формула доказана.
Пример 4. При принятии решения члены комитета голосуют: «за», «против», «воздержался». Сколько может быть возможных исходов голосования по данному решению?
Решение. Если нас интересует, кто и как голосовал, то тогда речь идет о размещениях с повторениями, что даст возможных исходов голосования. Если же не важно, кто и как голосовал, а только общий результат, то тогда речь идет о сочетаниях с повторениями. В этом случае имеем: возможных исходов голосования.
Замечание. Сочетания с повторениями и размещения с повторениями объединяет то, что нет никаких ограничений на число повторений элементов, кроме их общего числа в наборе. Поэтому в формулах и допустим случай, когда . Отличие сочетаний от размещений прежде всего в том, что сочетания – это неупорядоченный набор, а размещения – упорядоченный.