Определение 7: Дистрибутивная решетка с отличными друг от друга 0 и 1, в которой всякий элемент имеет дополнение, называется булевой алгеброй.

Отметим, что теория решеток и теория булевых алгебр – это самостоятельные разделы алгебры.

Определение 8: Линейно упорядоченное множество, удовлетворяющее условию минимальности (а значит и двум другим условиям, эквивалентным с ним), называется вполне упорядоченным.

Примером вполне упорядоченного множества служит множество натуральных чисел с естественным порядком. Всякое подмножество вполне упорядоченного множества само вполне упорядочено. Из определения вполне упорядоченного множества следует, что оно обладает единственным минимальным элементом.

Во вполне упорядоченном множестве для всякого элемента существует элемент, непосредственно следующий за . Элемент может не иметь, однако, непосредственно предшествующего элемента; в этом случае он называйся предельным элементом.

При изучении бесконечных множеств часто приходится пользоваться следующей аксиомой, которую называют аксиомой выбора.

Аксиома: Если дано множество , то существует функция , сопоставляющая каждому непустому подмножеству определенный элемент этого подмножества.

Другими словами, функция отмечает по одному элементу в каждом из непустых подмножеств множества .

Вопрос о логических основах этой аксиомы и о законности ее использования относится к числу самых трудных и спорных вопросов обоснования теории множеств. Многие из теорем, доказанные с помощью аксиомы выбора совершенно противоречили наглядности. Поэтому один из видных математиков XX века Бертран Рассел так высказался об этой аксиоме: «Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься в нее, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под конец же перестаешь понимать, что же она означает».

Имеется целый ряд утверждений, каждое из которых эквивалентно аксиоме выбора. Например, следующие теоремы.

Теорема Цериело: Всякое множество можно вполне упорядочить.

Теорема Хауздорфа: Всякая цепь частично упорядоченного множества содержится в некоторой максимальной цепи.