Пусть даны конечные множества и , число элементов которых равно и соответственно. В зависимости от величин и , возможны следующие ситуации:
, , .
Какое из этих соотношений имеет место, можно решить двумя способами. Можно пересчитать число элементов каждого из множеств и сравнить полученные числа. А можно сравнить два множества путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами.
Определение 1: Назовем два множества эквивалентными, если существует взаимно однозначное соответствие между их элементами.
Обозначают: . Определенное нами бинарное отношение эквивалентности между множествами обладает свойствами:
1) рефлексивность: ,
2) симметричность: из того, что следует, что ,
3) транзитивность: если и , то , т.е. действительно является эквивалентностью.
Таким образом, всевозможные множества распадаются на классы эквивалентных между собой множеств. В один класс эквивалентности попадают множества, состоящие из одного и того же числа элементов.
Поставим в соответствие каждому классу эквивалентных между собой множеств некоторый символ , который назовем кардинальным числом или мощностью любого из множеств данного класса.
Например, линейная функция устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками интервала и точками интервала для любого . Функция устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми точками интервала и точками прямой линии .
Замечание: Понятие мощности для конечного множества совпадает с понятием числа элементов этого множества. Кардинальное число – это количество элементов во множестве.