Определение 3: Множество, эквивалентное множеству чисел натурального ряда, называется счетным.

Натуральный ряд чисел – это счётное множество. Все множества, равномощные множеству , имеют такую же мощность.

Теорема 4: Для того чтобы множество было счетным, необходимо и достаточно, чтобы его элементы можно было «перенумеровать», т.е. представить в форме последовательности:

. (1)

Доказательство: Если множество представлено в форме (1), то достаточно каждому элементу поставить в соответствие его индекс , чтобы получить взаимно однозначное соответствие между множеством и , так что - счётно.

Обратно, если - счётно, то существует взаимно однозначное соответствие между множествами и . Обозначим через и получим представление в форме (1).

Теорема 5: Из всякого бесконечного множества всегда можно выделить счётное подмножество .

Доказательство: Пусть - бесконечное множество. Возьмем в этом множестве произвольный элемент . Т.к. бесконечно, то в нём есть и другие элементы. Можно выбрать элемент . По тем же соображениям множество не пусто и в нём можно выбрать элемент . Ввиду бесконечности множества этот процесс можно продолжать неограниченно. В результате получили последовательность элементов: . Эта выбранная последовательность и образует счётное подмножество , т. к. все элементы в ней перенумерованы. Что и требовалось доказать.

Следствие: Таким образом, мощность счётного множества наименьшая из всех мощностей бесконечных множеств. Всем множествам, эквивалентным множеству , ставится в соответствие одно и то же кардинальное число.

Теорема 6: Всякое бесконечное подмножество счётного множества счётно.

Доказательство: Пусть - счетное множество, а - его бесконечное подмножество. Так как множество - счётно, то все его элементы можно перенумеровать, т. е. представить в виде последовательности: . Будем перебирать один за другим элементы множества в порядке возрастания их номеров. При этом нам будут встречаться элементы множества . Соотнося каждому элементу множества номер «встречи» с ним, мы перенумеруем множество , причём, в силу бесконечности , на его нумерацию пойдут все натуральные числа.

Следствие: Если из счётного множества удалить конечное подмножество, то оставшееся множество будет счётным.

Перечислим ещё некоторые свойства счётных множеств.

Так как для любого натурального числа множество вида - счетно, тогда сумма конечного и счётного множества без их общих элементов является счётным множеством.

Сумма конечного или счетного числа попарно не пересекающихся счетных множеств есть счётное множество. Покажем схематически, как можно занумеровать полученную сумму для конечного числа слагаемых: , где множества имеют следующий вид:

Расположим элементы данных множеств так, как показано на рисунке. Таким образом, натуральные номера присваиваются сначала первым элементам данных множеств, затем – вторым и т. д.

Далее рассмотрим сумму (объединение) счётного числа попарно не пересекающихся счётных множеств: .

На рисунке показана примерная схема нумерации элементов данных множеств. Пользуясь рассмотренными свойствами счётных множеств, можно всех целых чисел - счётно:

Это множество – есть объединение конечного числа счётных множеств, следовательно, оно является счётным.

Также схематически можно показать, что множество всех точек плоскости с целочисленными координатами счетно. Отсюда нетрудно вывести, что множество всех рациональных чисел также счетно.

Ниже рассмотрим множества, мощность которых отлична от мощности счётного множества.

Теорема 7: Множество всех последовательностей из нулей и единиц не счетно.

Доказательство: Рассматриваемое множество, очевидно, является бесконечным. Поэтому достаточно доказать, что не существует взаимно однозначного отображения множества натуральных чисел на множество двоичных последовательностей. Докажем это утверждение методом от противного. Предположим, что множество всех двоичных последовательностей можно перенумеровать, т.е. любой последовательности из нулей и единиц можно поставить в соответствие некоторый натуральный номер. Схематически это соответствие можно представить следующим образом:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

Где - это элементы двоичных последовательностей, т. е. 0 или 1.

Покажем, что существует двоичная последовательность, которая при этом не получит номера. Построим такую последовательность следующим образом. Выберем первый её элемент (если , то ; если , то ). Аналогично выбираем остальные элементы: , ,..., и т.д. Тем самым, для всех индексов будет выбран элемент (если , то ; если , то ). Тогда построенная последовательность не совпадает с первой последовательностью, так как . Она не совпадает со второй последовательностью, т.к. и т.д. Последовательность не совпадает с последовательностью, получившей номер , т.к. и т.д. Таким образом, последовательность не может получить номера вопреки предположению. Это означает, что множество всех двоичных последовательностей не эквивалентно множеству натуральных чисел. Тем самым доказано, что множество двоичных последовательностей нечетно.

Замечание: Метод доказательства, примененный в теореме 7, называют Канторовым диагональным методом. Его можно использовать при решении задач и при доказательстве подобных утверждений.

Применяя Канторов диагональный метод, можно, например, доказать, что множество всех точек отрезка несчетно.

Нетрудно показать, что мощность множества всех двоичных последовательностей равна мощности множества всех действительных чисел отрезка , или мощности всех последовательностей натуральных чисел. Все эти множества являются несчётными, а также равномощными, значит, им соответствует одно и то же кардинальное число.

Действительно, каждую цифру в десятичной записи числа или каждое натуральное число можно зашифровать конечным набором из 0 и 1, поэтому любое действительное число отрезка или любую последовательность натуральных чисел можно зашифровать последовательностью из нулей и единиц.

На протяжении трех лет (с 1871 по 1874г.) основатель теории множеств Георг Кантор искал доказательство того, что взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и точками квадрата невозможно. Неожиданно ему удались построить соответствие, которое он считал невозможным! Математику Дедекинду он писал: «И вижу это, но не верю». Но интуиция подвела и здесь.

Дадим эскиз доказательства Кантора. Каждую точку квадрата можно задать её координатами и . Эти числа можно записать, как бесконечные десятичные дроби, т.к. и . не больше 1.

Пусть , (для простоты мы взяли внутренние точки квадрата). Выпишем число , десятичные знаки которого получаются «перемешиванием» десятичных знаков чисел и следующим образом: .

Точка принадлежит отрезку , причем соответствие является взаимно однозначным. Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между всеми точками квадрата и частью точек отрезка . Это показывает, что множество, точек квадрата имеет не большую мощность, чем множества точек отрезка. Но его мощность и не меньшее, а потому эти мощности совпадают. Не только квадрат, но и куб, и вообще любая геометрическая фигура, содержащая хотя бы одну лини, имеет столько же точек и отрезок. Такие множества назовём множествами мощности континуум (от латинского слова continuum - непрерывный).

Перечисленные выше множества точек отрезка , множество всех двоичных последовательностей и др. имеют мощность континуум. Можно показать, что множество всех подмножеств любого счетного множества имеет мощность континуум.

Возникает вопрос, существует ли множество, мощность которого больше мощности счетного множества и меньше, чем континуум. Эта задача получила название проблемы континуума. Над этой проблемой думали многие выдающиеся математики, начиная с Г. Кантора, но до 60-х годов XX века эта проблема оставалась нерешенной. В течение многих лет думал над этой проблемой один из крупнейших математиков Н.Н. Лузин. Правда, в ходе размышлений над проблемой континуума Н.Н Лузин решил целый ряд труднейших задач теории множеств и создал целый раздел математики - дескриптивную теорию множеств.

Неудачи попыток решить проблему континуума не были случайными. Оказалось, что положение дел здесь напоминает историю постулата параллельных прямых. Этот постулат пытались на протяжении двух тысячелетий вывести из остальных аксиом евклидовой геометрии. После работ Лобачевского, Гильберта и ряда других ученых выяснилось, что пятый постулат не противоречит остальным аксиомам, но и не может быть выведен из них. Точно так же после работ К. Гёделя, П. С. Новикова, Дж. Коэна и других выяснилось, что утверждение об отсутствии множества промежуточной мощности является аксиомой теории множеств. Не существует мощности, большей, чем мощность счётного множества, и меньшей мощности континуум. Если множество имеет мощность, большую мощности счётного множества, то данное множество имеет мощность континуум.