МАТЕМАТИКА

 

Алтайская академия экономики и права

МАТЕМАТИКА:

Модульно-рейтинговая

Система обучения

 

Часть 4

Н.Т. Копылова Издание предназначено для студентов всех форм обучения экономических… Обсуждено на заседании кафедры математики и информатики и рекомендовано к публикации методическим советом ААЭП. …

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

В приведенной ниже таблице дано название и вес модуля, указаны входящие в него виды работ и график контроля. Таблица служит памяткой обучающимся, в… Набравшие по всем видам работы 90% от общего количества баллов получают оценку… Срок защиты индивидуального задания по модулю оговаривается заранее. Защита после срока оценивается с коэффициентом…

Памятка студента

(корректируется для каждой специальности)

Наименование модуля	Вид контроля	Длительность изучения (специальность ФК)	Вес модуля в итоговом рейтинге	Примечания
М4. Интегральное исчисление функции одной переменной	ИЗ 4	5 недель (16 часов)		Оценивается зачтено / не зачтено (могут добавляться поощрительные баллы либо вычитаться, но не более 10)
	КР		0,15	Контрольная работа по неопределенному интегралу (оценивается в баллах)
	ТЗ		0,15	Тест по интегральному исчислению (оценивается в баллах)

МОДУЛЬ 4

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Неопределенный интеграл

Первообразная. Неопределенный интеграл

Определение. Отыскание функции F(x) по ее производной =называется интегрированием. Теорема. Если F(x) – первообразная функции f(x) на промежутке , то любая… Следствие. Множество функций + С, где F(x) – одна из первообразных, исчерпывает все семейство первообразных для…

Таблица основных интегралов

 

Поскольку интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, то, зная таблицу производных, можно написать таблицу основных интегралов:

1. ; 2. ;

3. , n 1; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. .

Непосредственное интегрирование. Подведение константы и функции под знак дифференциала

Пример 1. Найти . Решение. = .

Решение

Пример 3. Найти .

Решение , то есть таблицу интегралов можно дополнить еще одним интегралом: .

Пример 4. Найти .

Решение..

Метод замены переменной (метод подстановки)

Замечание. При замене переменной в неопределенном интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию t, а наоборот, t как функцию от х. Пример 1. Найти .

Решение

. Пример 2. Найти . Решение. .

Решение

Пример 6. Найти . Решение . Замечание.При помощи той жеформулызамены вычисляются интегралы , , и т.д.

Интегрирование по частям

Теорема. Пусть u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке x и пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на… (1.2) Формула (1.2) называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Для вычисления интегралов вида:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. , содержащих квадратный трехчлен, применяют следующие преобразования:

1) выделяем полный квадрат из квадратного трехчлена, то есть

2) полный квадрат преобразуем в квадрат двучлена:

3) делаем замену , в результате чего интегралы после преобразований приводятся к табличным.

Пример 1. Найти .

Решение.

Пример 2. Найти .

Решение.

Пример 3. Найти .

Решение. =

.

Интегрирование рациональных функций

Если < , то называется правильной дробью, в противном случае – неправильной. Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно… Пример. Представить неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Решение.

=

Пример 2. Найти .

Решение.

==

Разложение рациональной функции на простейшие дроби

, (1.4) где – действительные корни многочлена кратностей соответственно, а ; . Числа –… Теорема. (O разложении правильной дроби на сумму простейших дробей).

Схема интегрирования рациональных дробей с помощью

Разложения на простейшие дроби

2. Разложим знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители: , где .

Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определенных подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций… Определение. Рациональной функциейот двух переменных и называется функция,… Пример. Функция является рациональной.

Решение.

Решение.

Примечание. Интегралы вида: , , были рассмотрены в пункте 1.6. IV. Интегралы вида с помощью подстановки приводятся к интегралам, рассмотренным в пункте 1.6.

Решение.

Решение.

=

1.10. Интегралы вида где R – рациональная функция

Интегралы такого вида с помощью подстановки преобразуются в интегралы от рациональных функций, то есть

Пример. Найти .

Решение.

Интегрирование тригонометрических выражений

I. Интегралы вида где – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью универсальной тригонометрической подстановки . В этом случае

; ;;

Пример. Найти .

Решение.

, = =. Примечание. В некоторых частных случаях нахождение интегралов вида может быть упрощено:

Решение.

2. Если - нечетная функция относительно то есть если =-, то интегралы вида приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки .

Пример. Найти .

Решение.

Решение.

III. При вычислении интегралов вида , где и – целые числа, возможны следующие… 1) один из показателей или – нечетное положительное число. Если – нечетное положительное число, то применяется…

Решение.

IV.При вычислении интегралов вида , , применяются тригонометрические формулы:

Они дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.

Пример. Найти .

Решение.

Замечание. Рассмотренные методы и приемы интегрирования не исчерпывают всех классов аналитически интегрируемых элементарных функций. Если дифференцирование не выводит из класса элементарных функций, то при интегрировании встречаются такие элементарные функции (например, , , и т.д.), первообразные от которых не являются элементарными функциями. Если первообразная не является элементарной функцией, то говорят, что интеграл "не берется" в элементарных функциях.

Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга

I. Найти интегралы непосредственным интегрированием:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

II. Вычислить интегралы подстановкой или подведением константы или функции под знак дифференциала:

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

61. 62.

63. 64.

65. 66.

67. 68.

69. 70.

71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.

81. 82.

83. 84.

85. 86.

87. 88.

89.

III.Интегрированием по частям найти интегралы:

90. 91.

92. 93.

94. 95.

96. 97.

98. 99.

100. 101.

102. 103.

IV. Найти интегралы от тригонометрических функций

107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115.

V. Найти интегралы от рациональных алгебраических функций

141. 142. 143.

144. 145. 146.

147. 148. 149.

150. 151. 152.

153. 154.

VI. Найти интегралы от иррациональных функций

155. 156. 157.

158. 159. 160.

161. 162.

VII. Смешанные примеры на интегрирование

163. 164. 165.

166. 167. 168.

169. 170. 171.

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178. 179. 180.

181. 182. 183.

184. 185. 186.

187. 188. 189.

190. 191. 192.

193. 194. 195.

196. 197. 198.

199. 200. 201.

202. 203. 204.

205. 206. 207.

208. 209. 210.

211. 212. 213.

214. 215. 216.

217. 218. 219.

220. 221. 222.

223. 224. 225.

226. 227. 228.

229. 230. 231.

232. 233. 234.

235. 236. 237.

238. 239. 240.

241. 242. 243.

244. 245. 246.