Интегрирование рациональных функций

Определение. Рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов: где , – целые положительные числа;

Если < , то называется правильной дробью, в противном случае – неправильной.

Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби.

Пример. Представить неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Решение. Делим по правилу деления многочленов:

Таким образом, .

Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к освоению интегрирования правильных дробей. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать функции при условии < .

Определение. Простейшей дробью называется дробь одного из следующих четырех типов:

, где , , , , , – постоянные числа; – натуральное число, , – неразложимый квадратный трехчлен, у которого отрицательный дискриминант, т. е.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей:

.

.

Выделим в числителе производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе:

Первый интеграл в правой части равенства легко находится с помощью подстановки , а второй преобразуем следующим образом:

Последний интеграл в случае является табличным, а в остальных случаях берется с помощью рекуррентной формулы.

Таким образом, всякая рациональная дробь может быть проинтегрирована в элементарных функциях.

Пример 1. Найти .