Линейная алгебра

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Брянский государственный технический университет

 

 

УТВЕРЖДАЮ

Первый проректор по учебной работе

____________ А.П. Мысютин

« » ____________ 2013 г.

 

Линейная алгебра

Методические указания к самостоятельной работе для студентов I курса очной формы обучения направления подготовки 080100 «Экономика» и

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………4

Условия задач расчетно-графической работы…………….....4

Методические указания к выполнению задач расчётно-

графической работы № 1………………………………………19

Примерные варианты контрольных работ.…………………..34

Теоретические вопросы к экзамену……………………………36

Образец билета письменного экзамена (практическая часть).38

Список рекомендуемой литературы…………………………...39

ВВЕДЕНИЕ

 

Настоящие методические указания предназначены для студентов специальностей 080100 «Экономика» и 080500 «Бизнес-информатика». В методических указаниях приводятся условия задач расчетно-графической работы, методические рекомендации к решению задач расчетно-графической работы №1 и примеры решения наиболее сложных из них, примерные варианты двух контрольных работ, предусмотренных рабочими программами курса «Линейная алгебра», список экзаменационных вопросов, а также примерный вариант практической части экзаменационного билета.

 

Условия задач расчетно-графической работы

 

Задание 1

 

Дана матрица А. Найти обратную матрицу двумя способами:

1) используя алгебраические дополнения элементов матрицы А;

2) методом элементарных преобразований.

Сделать проверку.

 

 

Задание 2

Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами:

1) методом Гаусса; 2) по правилу Крамера; 3) матричным методом.

 

 

 

Задание 3

Найти общее решение системы

.

 

 

Задание 4

Даны векторы , , угол между векторами и равен .

Вычислить: 1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ; 2) острый угол между диагоналями параллелограмма; 3) площадь параллелограмма.

Значения коэффициентов l, m, n, k, f и модули векторов и даны ниже для каждого варианта.

 

Вариант

Задание 5

Даны координаты вершин пирамиды A₁A₂A₃A₄: A₁(x₁ ; y₁ ; z₁), A₂(x₂ ; y₂ ; z₂), A₃(x₃ ; y₃ ; z₃), A₄(x₄ ; y₄ ; z₄).

Требуется: 1) в декартовой прямоугольной системе координат построить пирамиду A₁A₂A₃A₄ ; 2) записать векторы , , в ортонормированном базисе и найти модули этих векторов; 3) найти острый угол между векторами и ; 4) найти площадь треугольника A₁A₂A₃ ; 5) найти объем пирамиды A₁A₂A₃A₄ .

 

Вариант
	(2; 3; 2)	(10; 7; 3)	(6; 6; 3)	(8; 9; 5)
	(3; 5; 2)	(1; 7; 5)	(5; 6; 8)	(1; 6; 4)
	(6; 1; 4)	(3;-3; 8)	(5;-5; 8)	(8; 3; 3)
	(2; 5; 4)	(5; 3; 6)	(8; 3; 5)	(8; 2; 10)
	(3; 4; 3)	(7;-4; 4)	(6; 0; 4)	(9; 10; 6)
	(1; 2; 3)	(3; 4; 6)	(-3; 1; 6)	(3; 3; 5)
	(3; 5; 1)	(0; 1; 5)	(1; 0; 5)	(7; 9;-1)
	(5;-2; 4)	(7; 1; 6)	(7; 4; 5)	(8; 4; 10)
	(1; 2; 1)	(9;-2; 2)	(-3; 5; 0)	(7; 8;-2)
	(4; 1; 3)	(2; 3; 6)	(5;-3; 6)	(3; 3; 5)
	(3;-1; 2)	(7; 2; 6)	(9; 0; 6)	(5; 1; 3)
	(3; 5; 4)	(1; 8; 6)	(-1; 2; 6)	(9;-1; 1)
	(1; 1; 2)	(-3; 9; 3)	(-2; 5; 3)	(7; 7;-1)
	(1; 4; 3)	(-1; 6; 6)	(6;-4; 0)	(2; 2; 1)
	(2; 4; 1)	(6; 7; 5)	(7; 6; 5)	(6; 8; 3)
	(1; 2; 2)	(3; 5; 4)	(5;-1; 4)	(7; 8; 5)
	(2;-2; 1)	(10; 2; 2)	(6; 1; 2)	(8; 4; 4)
	(3; 4;-1)	(1; 6; 2)	(5; 5; 5)	(1; 5; 1)
	(2; 5; 3)	(-1; 1; 7)	(1;-1; 7)	(4; 7; 2)
	(1; 4; 2)	(4; 2; 4)	(7; 2; 3)	(7; 1; 8)
	(3; 1; 4)	(7;-7; 5)	(6;-3; 5)	(9; 7; 7)
	(2; 4; 3)	(4; 6; 6)	(-2; 3; 6)	(4; 5; 5)
	(5;-2;-1)	(2;-6; 3)	(3;-7; 3)	(9; 2;-3)
	(5; 2; 1)	(7; 5; 3)	(7; 8; 2)	(8; 8; 7)
	(2;-1; 7)	(10;-5; 8)	(-2; 2; 6)	(8; 5; 4)
	(4; 7; 8)	(2; 9; 11)	(5; 3; 11)	(3; 9; 10)
	(2; 1; 3)	(6; 4; 7)	(8; 2; 7)	(4; 3; 4)
	(1; 5; 2)	(-1; 8; 4)	(-3; 2; 4)	(7;-1;-1)
	(6; 1; 4)	(2; 9; 5)	(3; 5; 5)	(12; 7; 1)
	(6; 5; 1)	(4; 7; 4)	(11;-3;-2)	(7; 3;-1)

Задача 6

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора заданного матрицей.

 

Задание 7

Решить графически систему линейных неравенств.

 

Задание 8

Даны координаты вершин треугольника ABC: A(x₁ ; y₁), B(x₂ ; y₂), C(x₃ ; y₃).

Требуется: 1) в декартовой прямоугольной системе координат построить треугольник ABC; 2) написать каноническое и общее уравнения прямой AB, найти её угловой коэффициент; 3) написать каноническое и общее уравнения прямой AС, найти её угловой коэффициент; 4) найти внутренний угол A в градусах; 5) написать общее уравнение высоты CD и найти её длину, не используя координаты точки D; 6) написать общее уравнение медианы CE; 7) найти координаты точки пересечения высот треугольника ABC. На чертеже построить высоту CD, медиану CE и указать точку пересечения высот треугольника.

 

Вариант	А	В	С
	(7; 4)	(1; 1)	(4; 5)
	(–5; 4)	(1; 1)	(–2; 5)
	(–5; –2)	(1; 1)	(–2; –3)
	(7; –2)	(1; 1)	(4; –3)
	(5; 4)	(–1; 1)	(2; 5)
	(–7; 4)	(–1; 1)	(–4; 5)
	(–7; –2)	(–1; 1)	(–4; –3)
	(5; –2)	(–1; 1)	(2; –3)
	(-8; -5)	(-2; –2)	(-5; -6)
	(–5; 2)	(1; –1)	(–2; 3)
	(–5; –4)	(1; –1)	(–2; –5)
	(7; –4)	(1; –1)	(4; –5)
	(5; 2)	(–1; –1)	(2; 3)
	(–7; 2)	(–1; –1)	(–4; 3)
	(–7; –4)	(–1; –1)	(–4; –5)
	(5; –4)	(–1; –1)	(2; –5)
	(8; 5)	(2; 2)	(5; 6)
	(–4; 5)	(2; 2)	(–1; 6)
	(–4; –1)	(2; 2)	(–1; –2)
	(8; –1)	(2; 2)	(5; –2)
	(4; 5)	(–2; 2)	(1; 6)
	(–8; 5)	(–2; 2)	(–5; 6)
	(–8; –1)	(–2; 2)	(–5; –2)
	(4; –1)	(–2; 2)	(1; –2)
	(8; 1)	(2; –2)	(5; 2)
	(–4; 1)	(2; –2)	(–1; 2)
	(–4; –5)	(2; –2)	(–1; –6)
	(8; –5)	(2; –2)	(5; –6)
	(4; 1)	(–2; –2)	(1; 2)
	(–8; 1)	(–2; –2)	(–5; 2)

 

Задание 9

Даны координаты точек: A₁(x₁ ; y₁ ; z₁), A₂(x₂ ; y₂ ; z₂), A₃(x₃ ; y₃ ; z₃), A₄(x₄ ; y₄ ; z₄).

Требуется: 1) написать канонические уравнения прямых A₁A₂ и A₁A₄ и найти угол между ними; 2) написать общее уравнение плоскости A₁A₂A₃ ; 3) найти угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃ ; 4) написать канонические уравнения высоты, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃ ; 5) найти расстояние от точки A₄ до грани A₁A₂A₃ .

 

Вариант
	(2; 3; 2)	(10; 7; 3)	(6; 6; 3)	(8; 9; 5)
	(3; 5; 2)	(1; 7; 5)	(5; 6; 8)	(1; 6; 4)
	(6; 1; 4)	(3;-3; 8)	(5;-5; 8)	(8; 3; 3)
	(2; 5; 4)	(5; 3; 6)	(8; 3; 5)	(8; 2; 10)
	(3; 4; 3)	(7;-4; 4)	(6; 0; 4)	(9; 10; 6)
	(1; 2; 3)	(3; 4; 6)	(-3; 1; 6)	(3; 3; 5)
	(3; 5; 1)	(0; 1; 5)	(1; 0; 5)	(7; 9;-1)
	(5;-2; 4)	(7; 1; 6)	(7; 4; 5)	(8; 4; 10)
	(1; 2; 1)	(9;-2; 2)	(-3; 5; 0)	(7; 8;-2)
	(4; 1; 3)	(2; 3; 6)	(5;-3; 6)	(3; 3; 5)
	(3;-1; 2)	(7; 2; 6)	(9; 0; 6)	(5; 1; 3)
	(3; 5; 4)	(1; 8; 6)	(-1; 2; 6)	(9;-1; 1)
	(1; 1; 2)	(-3; 9; 3)	(-2; 5; 3)	(7; 7;-1)
	(1; 4; 3)	(-1; 6; 6)	(6;-4; 0)	(2; 2; 1)
	(2; 4; 1)	(6; 7; 5)	(7; 6; 5)	(6; 8; 3)
	(1; 2; 2)	(3; 5; 4)	(5;-1; 4)	(7; 8; 5)
	(2;-2; 1)	(10; 2; 2)	(6; 1; 2)	(8; 4; 4)
	(3; 4;-1)	(1; 6; 2)	(5; 5; 5)	(1; 5; 1)
	(2; 5; 3)	(-1; 1; 7)	(1;-1; 7)	(4; 7; 2)
	(1; 4; 2)	(4; 2; 4)	(7; 2; 3)	(7; 1; 8)
	(3; 1; 4)	(7;-7; 5)	(6;-3; 5)	(9; 7; 7)
	(2; 4; 3)	(4; 6; 6)	(-2; 3; 6)	(4; 5; 5)
	(5;-2;-1)	(2;-6; 3)	(3;-7; 3)	(9; 2;-3)
	(5; 2; 1)	(7; 5; 3)	(7; 8; 2)	(8; 8; 7)
	(2;-1; 7)	(10;-5; 8)	(-2; 2; 6)	(8; 5; 4)
	(4; 7; 8)	(2; 9; 11)	(5; 3; 11)	(3; 9; 10)
	(2; 1; 3)	(6; 4; 7)	(8; 2; 7)	(4; 3; 4)
	(1; 5; 2)	(-1; 8; 4)	(-3; 2; 4)	(7;-1;-1)
	(6; 1; 4)	(2; 9; 5)	(3; 5; 5)	(12; 7; 1)
	(6; 5; 1)	(4; 7; 4)	(11;-3;-2)	(7; 3;-1)

 

Задание 10

Решить графически неравенство.

 

Вариант	Уравнение линии

 

Методические указания к выполнению

Расчетно-ргафической работы

 

Задача 1

Для нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений элементов матрицы А используется формула , где - алгебраическое дополнение к элементу , которое вычисляется по формуле , - минор элемента , получаемый вычеркивание i-ой строки и j-го столбца матрицы А. Например, для матрицы .

Проверка производится путем вычисления произведения А×А^-1 или А^-1×А, которые должны получиться равными единичной матрице Е.

Для нахождения матрицы вторым способом используются следующие элементарные преобразования над строками матрицы:

1) любые строки матрицы можно менять местами;

2) любую строку матрицы можно умножить на любое число отличное от нуля;

3) любую строку матрицы можно сложить с любой другой строкой, умноженной на любое число отличное от нуля.

Рассмотрим пример нахождения обратной матрицы методом элементарных преобразований.

Присоединим к матрице А единичную матрицу такого же размера.

.

Используя элементарные преобразования над строками матрицы на месте матрицы А получим единичную, тогда на месте единичной матрицы получится матрица А^-1.

Получим нули в первом столбце:

~

Получим нули во втором столбце:

~

Получим нули в третьем столбце:

~

Получим единицы на главной диагонали:

~ .

Таким образом, .

Задача 2

Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса нужно:

1) составить расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести ее к ступенчатому виду;

2) записать систему уравнений, соответствующую преобразованной матрице;

3) решить полученную систему, начиная с третьего уравнения.

Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера находится по формулам: , где D - определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, D_i – определитель полученный из определителя D путем замены i-го столбца столбцом свободных членов.

Для решения системы линейных уравнений матричным методом необходимо выписать матрицу А, составленную из коэффициентов при неизвестных, столбец свободных членов В и столбец неизвестных Х. Тогда система будет равносильна матричному уравнению АХ=В, решение которого находится по формуле Х=А^-1×В.

Задача 3

Рассмотрим пример.

 

1. Запишем систему уравнений:

 

 

2. Определим ранг матрицы, выберем главные и свободные неизвестные

~ ~ ~ ~ .

rang A=3Þ3 главные неизвестные. Так как всех неизвестных 5, главных 3, то свободных неизвестных будет 5-3=2.

Проверим могут ли х₁, х₂, х₃ быть главными неизвестными, для этого определитель, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, должен быть отличен от нуля.

Þ х₁, х₂, х₃ - главные неизвестные. Значит х₄ и х₅ – свободные неизвестные.

3. Запишем систему уравнений, соответствующую преобразованной матрице.

 

4. Найдем частное решение системы . Для этого всем свободным неизвестным придадим значение 0 и вычислим соответствующие значения главных неизвестных.

Пусть х₄ = х₅=0, тогда

 

Следовательно,

5. Запишем соответствующую однородную систему и найдем ее общее решение . Для этого необходимо поочередно придать одной из свободных неизвестных значение 1, остальным свободным неизвестным значение 0 и вычислить соответствующие значения главных неизвестных.

 

Пусть х₄=1, х₅=0, тогда

 

Следовательно,

Пусть х₄=0, х₅=1, тогда

 

Следовательно,

6. Запишем общее решение неоднородной системы.

= +

=

 

Задача 4

Для того чтобы вычислить длины диагоналей параллелограмма и острый угол между ними необходимо выразить диагонали параллелограмма через векторы и . Для этого следует использовать операции над векторами.

При выполнении этого задания потребуется знание следующих формул:

– длина вектора,

– острый угол между векторами ,

S_парал.= – площадь параллелограмма, построенного на векторах .

Задача 5

Для выполнения этого задания потребуются следующие формулы:

1) А(х₁,у₁,z₁), В(х₂,у₂,z₂), – координаты вектора ;

2) ; – длина вектора ;

3) , ;

- острый угол между векторами ;

4) S_D= – площадь треугольника, построенного на векторах ;

5) V_пир-да= – объем пирамиды, построенной на векторах , ; .

 

Задача 6

Рассмотрим пример решения.

 

1. Найдем собственные значения матрицы А. Для этого составим и решим характеристическое уравнение |А-lЕ|=0.

А-lЕ= .

=0.

(6-l)

(6-l)((3-l)(6-l)-9)-(1(6-l)-0)=0

(6-l)(l²-6l-3l+18-9)-(6-l)=0

(6-l)(l²-9l+9-1)=0

(6-l)(l²-9l+8)=0

6-l=0 или l²-9l+8=0

l₁=6 Д=81-4×8=49

l₂=1; l₃=8 – собственные значения матрицы А.

2. Найдем собственные векторы. Для этого составим и решим систему уравнений (А-lЕ) .

 

 

а) Для l₁=6.

 

rangA = 2 Þ 2 главные неизвестные

 

Пусть х₃ – свободная неизвестная, придадим ей значение 1, т.е. х₃=1, тогда:

– собственный вектор для l₁=6.

б) Для l₂=1.

 

rangA = 2 Þ 2 главные неизвестные

 

Пусть х₃ – свободная неизвестная, придадим ей значение 1, т.е. х₃=1, тогда:

– собственный вектор для l₂=1.

в) Для l₃=8.

 

 

Þ rangA = 2 Þ 2 главные неизвестные.

 

Пусть х₃ – свободная неизвестная, придадим ей значение 1, т.е. х₃=1, тогда:

– собственный вектор для l₃=8.

 

Задача 7.

Рассмотрим пример.

 

1. Построим прямые (рис.1):

1) ; 2) ; 3) .

х1				х1				х1		-3
х2				х2				х2

 

2. Для каждой прямой определим полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого возьмем произвольную точку, не лежащую на прямой, и подставим ее координаты в неравенство. Если неравенство будет верным, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство будет неверным, то решением неравенства будет полуплоскость по другую сторону прямой.

х2

B

x1

E

A

C

D

F

Рис. 1

G

1) Возьмем, например, точку О(0;0): 3×0+0£6 (верно), значит решением неравенства будет полуплоскость, содержащая эту точку.

2) Возьмем точку О(0;0) и подставим ее координаты во второе неравенство: 0+0³1 (неверно). Значит, решением неравенства является полуплоскость, не содержащая точку О.

3) Выберем, например, точку О(0;0) и подставим ее координаты в третье неравенство: -2×0+3×0£6 (верно). Значит, решением неравенства является полуплоскость, содержащая точку О.

3. Решением системы неравенств будет область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого из неравенств системы. В данном примере решением системы является область АВСDEFG. Так как по условию х₁>0 и x₂>0, то области АВС и EFG исключаются из решения. Таким образом, получаем область АСDEG, в которой координаты всех точек, кроме D известны. Найдем координаты точки D. Необходимо решить систему уравнений:

 

ее решением будет т. .

Ответ: АСDEG – область решений системы.

Задача 8. Рассмотрим пример.

Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол в радианах с точностью до ; 4) уравнение высоты и ее длину, не используя координаты точки ; 5) уравнение медианы ; 6) точку пересечения высот треугольника . Сделать чертеж.

Решение: Сделаем чертеж:

y

B

x

0 1

E

A

C

D

K

M

1. Расстояние между точками и находится по формуле .

В данном случае .

2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости и имеет вид .

Следовательно, для прямой имеем – общее уравнение прямой .

Аналогично, для прямой имеем – общее уравнение прямой .

Найдем угловые коэффициенты прямых и . Для этого перейдем от общего уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом .

Для прямой имеем , то есть – угловой коэффициент прямой . Для прямой получим , значит – угловой коэффициент прямой .

3. Учитывая, что угол острый, воспользуемся формулой .

Имеем , откуда

4. Для нахождения уравнения высоты воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом : .

В данном случае ; (координаты точки ). Так как прямые и перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением , откуда . Значит, уравнение высоты будет иметь вид: или .

Для нахождения длины высоты воспользуемся формулой расстояния от заданной точки до прямой : .

В данном случае , (координаты точки ); ; ; (коэффициенты из общего уравнения прямой ). Следовательно, .

5. Уравнение медианы составим, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Так как – медиана, то координаты точки найдем как координаты середины отрезка : ; , то есть . Тогда уравнение медианы будет иметь вид: или .

6. Для нахождения координат точки пересечения высот треугольника найдем уравнение высоты .

Уравнение высоты находим по формуле . По условию , . Так как прямые и перпендикулярны, то ; . Значит, уравнение высоты будет иметь вид или .

Составляем и решаем систему уравнений: Значит, .

Задача 9

Для нахождения канонических уравнений прямых А₁А₂ и А₁А₄ могут быть использованы формулы:

- уравнение прямой по двум точкам (х₁,y_1, z₁) и (х₂,y_2,z₂);

- каноническое уравнение прямой, где

(х₀,y_0, z₀) – координаты точки, принадлежащей прямой, {m,n,p} – координаты направляющего вектора прямой. Для нахождения угла между прямыми следует воспользоваться формулой:

, где – направляющие векторы прямых.

Для составления уравнения плоскости можно пользоваться формулами:

, где , , - координаты точек, принадлежащих плоскости, или А( )+В( )+С( )=0, где - координаты точки, принадлежащей плоскости, {A,B,C} – координаты вектора нормали для плоскости.

Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:

,

где – направляющий вектор прямой, {A,B,C} – вектор нормали к плоскости.

Для составления уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃ следует воспользоваться условием перпендикулярности прямой и плоскости: || и каноническим уравнением прямой.

Для нахождения расстояния от точки А₄ до грани А₁А₂А₃ следует воспользоваться формулой:

 

где Ах+Ву+Сz+D=0 – уравнение плоскости; - координаты точки.

 

Задача 10

Решить графически неравенство 2х²-2ху+2у²+6х-6у-6£0.

Для того чтобы решить графически неравенство необходимо построить график функции, заданной в неравенстве, и определить область, которая соответствует неравенству.

Приведем уравнение кривой, заданной в неравенстве, к каноническому виду, а затем построим ее.

1. Определим угол поворота осей координат. Для этого используются формулы:

 

где А и С коэффициенты при х² и у² соответственно, 2В – коэффициент при ху.

В нашем случае А=2; 2В=-2, С=2, тогда Отсюда , следовательно, ).

2. Используя формулы преобразования координат, выразим старые переменные через новые.

x=x'cosa-y'sina=x'cos45°-y'sin45°= (x'-y');

x=x'sina+y'cosa- =x'sin45°+y'co 45°= (x'+y').

Полученные выражения для х и у подготовим в уравнение кривой.

2( (x'-y'))²-2 (x'-y')× (x'+y')+2( (x'-y'))²+6× (x'-y')- 6× (x'+y')-6=0.

После преобразования получаем x'²+3y'²-6 y'-6=0.

3. Выполним параллельный перенос системы координат. Для этого выделим полный квадрат, в данном случае, по переменной у, чтобы определить новый центр координат.

x'²+3(y'²-2 y'+ ²)- 3 ² -6=0,

x'²+3(y'- ) ²=12.

Сделаем замену переменных:

х"=x'

y"=y'- . Следовательно, О'(0; ) – новый центр координат.

Замечание 1

1) ax'2+bx'+cy'2+dy'+f=0. В этом случае полные квадраты следует выделять по переменным x' и y'. 2) ax'2+dy'+f=0 или cy'2+bx'+f=0. В этом случае уравнения следует записывать… ax'2+d(y'+ )=0 или су'2+b(x'+ )=0 и сделать замену переменных следующим образом:

Замечание 2

Если бы после подстановки выбранной точки в исходное неравенство получилось бы неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства являлась бы область, которой выбранная точка не принадлежит.

 

Примерные варианты контрольных работ

 

Контрольная работа №1

1. Решить матричное уравнение.

 

Ответ: .

2. Решить систему методом Гаусса.

 

Ответ: (-1;2;0).

3. Даны вершины пирамиды АВСD: А(3;3;8), В(6;7;-2), С(2;6;3), D(3;6;5).

а) Построить пирамиду АВСD;

б) Найти объем пирамиды АВСD;

в) Найти площадь грани АВС;

г) Найдите косинус угла между векторами и ;

д) Найдите проекцию вектора на вектор .

Ответ: б) 6; в) ; г) ; д) .

4. Найдите длину вектора , если , .

Ответ: .

 

Контрольная работа №2

1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Ответ: , .

2. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы 16х²-9у²=144, параллельно асимптоте этой гиперболы, образующей тупой угол с осью Ох.

Ответ: 4х+3у+20=0.

3. Найти угол между прямыми и .

Ответ: .

4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(3;1;-2) перпендикулярно прямой .

Ответ: 13х-11у-7z-42=0.

 

Теоретические ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

 

1.Матрицы и их виды.

2.Операции над матрицами и их свойства.

3.Определители и их свойства. Способы вычисления определителей.

4.Обратная матрица: определение и вычисление с помощью алгебраических дополнений.

5.Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк.

6.Решение матричных уравнений.

7.Ранг матрицы. Различные способы определения и нахождения.

8.Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Теорема Кронекера - Капелли.

9.Методы решения определенных СЛАУ (матричный, Крамера, Гаусса).

10.Однородные и неоднородные СЛАУ размера m´n. Общее решение однородной системы.

11.Векторы: длина и направление, коллинеарность и компланарность. Равенство векторов.

12.Линейные операции над векторами и их свойства.

13.Линейная зависимость и независимость. Теоремы о линейной зависимости.

14.Геометрический смысл линейной зависимости на плоскости и в трехмерном пространстве.

15.Базис и система координат. Единственность разложения вектора по базису. Теоремы о координатах суммы векторов и произведении вектора на число.

16.Проекция вектора на ось. Теоремы о проекции вектора на ось.

17.Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.

18.Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.

19.Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

20.Полярная система координат на плоскости.

21.Линейное векторное пространство.

22.Преобразование координат вектора при смене базиса.

23.Евклидовы, нормированные и метрические пространства. Неравенства Коши - Буняковского и треугольника.

24.Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при смене базиса.

25.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

26.Вид матрицы линейного оператора в базисе из собственных векторов.

27.Деление отрезка в заданном отношении.

28.Различные виды уравнений прямой на плоскости.

29.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

30.Геометрический смысл неравенств первого порядка.

31.Различные виды уравнений плоскости в пространстве.

32.Угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

33.Различные виды уравнений прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

34.Взаимное расположение прямых в пространстве.

35.Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

36.Эллипс.

37.Гипербола.

38.Парабола.

39.Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы.

40.Преобразование декартовых координат.

41.приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

42.Инварианты общего уравнения кривой второго порядка

43.Классификация кривых второго порядка.

44.Основные поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды.

45.Цилиндрические поверхности.

46.Конические поверхности.

47.Классификация поверхностей второго порядка.

 

Примерные варианты экзаменационных билетов (практическая часть)

Вариант 001

 

1. Решите матричное уравнение

 

 

2. Найдите длину вектора , если .

3. Даны точки А(4;2;5); В(0;7;1), С(0;2;7); Д(1;5;0).

а) найдите S_DАВС;

б) найдите объем пирамиды АВСД.

4. Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного матрицей .

5. Напишите уравнение прямой, проходящей через правый фокус линии 16х²+25у²=400 и ее нижнюю вершину.

6. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(5;4;2) параллельно прямой

 

Вариант 002

 

1. Решите матричное уравнение

 

 

2. Найдите площадь треугольника, построенного на векторах , если .

3. Даны точки А(2;1;3); В(-2;6;7), С(-2;1;5); Д(-1;4;-2).

а) найдите S_DАВС;

б) найдите объем пирамиды АВСД.

4. Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного матрицей .

5. Напишите уравнение прямой, проходящей через фокус линии у²=-4x перпендикулярно прямой 7х-3у+2=0.

6. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости х+4у-3z+7=0.

 

Ответы: Вариант 001: 1) ; 2) ; 3) а) S_D= ; б) V=29/3; 4) l₁=4; l₂=5; ; 5) 4x-3y-12=0; 6) .

Вариант 002: 1) ; 2) S=7; 3) а) S_D= ; б) V=77/3; 4) l₁=1; l₂=5; ; 5) 3x+7y+3=0; 6) 4x-7y-8z+25=0.

 

Список рекомендуемой литературы

Основная

1. Высшая математика для экономистов/Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман – под ред. Н.Ш. Кремера. 3-е изд. – М.: ЮНИТИ, 2010. – 478с.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике/Д.Т. Письменный. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2002. – Ч.1.-228с.

3. Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике. I курс/К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 576с.

4. Бугров, Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Т.1./Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Дрофа, 2003. – 288с.

5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1./П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш.шк., 1999. – 304с.

6. Ефимов, Н.В. Краткий курс аналитической геометрии/Н.В. Ефимов. – М.: Физматлит, 2002. – 240с.

Дополнительная

7. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия/В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М.: Физматлит, 2006. – 223с.

8. Ильин, В.А. Линейная алгебра/В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М.: Наука, 1999. – 284с.

9. Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии/Д.В. Клетеник. – М.: Профессия, 2006. – 200с.