Занятия по математике

 

 

Предисловие

 

Данное учебно-методическое пособие предназначено в первую очередь, для студентов экономико-управленческих специальностей; может быть полезным для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объёме высшую математику. Пособие является дополнением к конспектам лекций по высшей математике часть I, а также руководством для подготовки и проведения практических занятий.

Пособие разбито на учебные элементы — занятия, каждое занятие содержит справочный материал (основные определения, формулы, признаки и т.п.), необходимый для решения задач. Каждый учебный элемент содержит три блока задач (аудиторные, домашние и дополнительные), при составлении которых особое внимание уделено стандартным задачам, которых так не хватает для успешного хода учебного процесса. Приводятся методические рекомендации по решению определённого круга задач, в частности, алгоритмы их решения. Такая форма изложения позволяет сначала познакомиться с приёмами решения типовых задач и оформлением записи их решения, а затем приступить к выработке навыков в их самостоятельном решении. Тем не менее, в пособии довольно много сложных заданий и устных вопросов. Приводится два варианта типовой контрольной работы, а также решение индивидуального домашнего задания. Среди устных заданий немало качественных вопросов, обычно предлагаемых на экзаменах по высшей математике, эта часть данного издания будет полезна студентам для подготовки к экзаменам.

 

Список обозначений:

▲ ▼ — важные определения;

⋙ — «обратите особое внимание!»

► ◄ — начало и конец решения.

Занятие 1

Основные элементарные функции

Цели

Знать:

v Определение функции, её области определения и области значений;

v способы задания функций;

v основные характеристики функции;

v понятие обратной функции;

v понятие сложной функции.

Уметь:

v Строить графики основных элементарных функций.

 

▼ Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие f, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается

y=f(x) или (1). ▲

Множество Х называется областью определения функции f и обозначается D ( f ).

Множество всех называется множеством значений функции f и обозначается E ( f ).

 

Основные характеристики функции

1. Функция у=f (x), определённая на множестве D, называется

· чётной, если выполняются условия и f ( –x)=f (x) (2);

· нечётной, если выполняются условия и f ( –x)= –f (x) (3).

Фцнкция у=f (x), определённая на множестве D, не являющаяся ни четной, ни нечётной называется функцией общего вида.

Пример. Чётные функции: f (x)=x²ⁿ, y=cos x. Нечётные функции: f (x)=x^{2n – 1}, y=sin x.

2. Пусть функция у=f (x), определёна на множестве D и пусть . Если для любых значений аргументов из неравенства x₁<x₂ вытекает неравенство:

· f (x₁)<f (x₂), то функция называется возрастающей на множестве D₁ (4);

· , то функция называется неубывающей на множестве D₁ (5);

· f (x₁)>f (x₂), то функция называется убывающей на множестве D₁ (6);

· , то функция называется невозрастающей на множестве D₁ (7).

3. Функцию у=f(x), определённую на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число M>0, что для всех выполняется неравенство:

(8).

4. Функция у=f (x), определённая на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число T>0, что при каждом значение и

f (x+T)=f (x) (9).

Пример. Функции у=sin x, у=cos x имеют период , у=tg x, у=ctg x имеют период .

Функция φ (у) называется обратной к функции f (x), если для всякого выполняется φ (f (x))=x и для всякого выполняется f(φ(y)) и записывается в следующем виде:

x=φ (y)=f^{- – 1}(y) (10).

 

Основные элементарные функции

1) степенная функция

();

2) показательная функция

у=а^х (а>0, a1);

3) логарифмическая функция

y=log_ax (a>0, a1);

4) тригонометрические функции

y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x;

5) обратные тригонометрические функции

y=arcsin x, y=arcos x, y=arctg x, y=arcctg x.

 

▼ Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией. ▲

▼ Пусть функция y=f (u) определена на множестве D, а функция u=φ (х) на множестве D₁, причём соответствующее значение u=φ (х). Тогда на множестве D₁ определена функция u=f (φ (х)) которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции). Переменную u=φ (х) называют промежуточным аргументом сложной функции. ▲

Пример. y=sin(lg x); y=tg(3x+1).

 

№1. Дана функция Найти f( –2); f(0).

► ; . ◄

№2. Найти область определения функции:

а) ; б) y=+arcсos.

►а) Функция принимает действительные значения в тех точках, в которых выражение, стоящее под знаком корня, будет иметь неотрицательные значения, а выражение, находящееся под знаком логарифма — положительным:

Решая первое неравенство , имеем или х² – 5х+4, т.е. .

Решая второе неравенство , имеем 5x – x²>0, т.е. .

Решение системы: .

б) Функция определена в тех точках, в которых 3 – х0 или .

Функция arcсosопределена для всех значений х, удовлетворяющих неравенству:

или

откуда или .

Таким образом, данная функция определена на отрезке

[ –1; 3]. ◄

 

№3. Выяснить, какие из данных функций, являются чётными и какие нечётными: а) ; б) g (x)=x+cos x;

в) q (x)= x+sin x.

►Заменяя х на (–х), получаем:

а) ==,

отсюда следует, что f ( –x)=f (x), т.е. функция чётная;

б) g ( –x)= –x+cos( –x)= –x+cos x,

отсюда g ( –x)g (x); g ( –x) –g (x), т.е. функция не является чётной и нечётной (общего вида);

в) q ( –x)= –x+sin x= –x – sinx, отсюда q ( –x)= – q (x), т.е. функция чётная. ◄

 

Задания для самостоятельного решения

№1. Дана функция f (t)=2t³ – 3t+4. Найти f ( –2); f (0); f (1); f (a).

Ответ: f ( –2)= –6; f (0)= 4; f (1)=3; f (a)=2a³ – 3a+4.

№2. Дана функция, . Найти ; . В каких точках функция не определена?

Ответ: ; .

Функция не определена в точках .

№3. Дана функция f (x)=sin x. Найти:1) f ²(x)+;

2) ; 3) ; 4) f (1); 5) f ( –2).

Ответ: 1) 1; 2) tg x; 3) sin 2x; 4) sin 1; 5) sin( –2).

№4. Найти области определения функции: 1) y=lg(4 – 3x – x²); 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) y=arcсos; 7) y=+lg(sin x); 8) y=log₂(x² – 7x+12)+; 9) ; 10) ; 11) ; 12) y=lg(sin x+2).

Ответ: 1) D(y)=( –4; 1); 2) D(y)=R\{ –2; 7};

3) D(y)=[ –1; 2]; 4) D(y)=R\{4};

5) D(y)=Æ; 6) D(y)=; 7) D(y)=[ –5; –)(0; );

8) D(y)=[1; 3)(4; ); 9) D(y)=, ;

10) D(y)=, ;

11) D(y)=, , 12) D(y)=R.

№5. Найти множество значений функции: 1) , ; 2) , –1<x<0; 3) y=lg x, 10;

4) y=3+2x – x², –15; 5) y=cos x, .

Ответ: 1) ; 2) ( –; –1);

3) [1; 2]; 4) [ –12; 0]; 5) .

№6. Какие из указанных функций чётные, какие нечётные и какие из них не обладают этими свойствами: 1) у =5^х; 2) y =x² 3^x; 3) y =x – x³; 4) y =x²+3x+2; 5) у =x³+2x+1; 6) y =sin²x; 7) ; 8) y=; 9) у =x⁴+x² – 5; 10) f (x) =const.

Ответ: Функции 6, 9, 10 — чётные;

функции 3, 8 — нечётные;

функции 1, 2, 4, 5, 7 — общего вида.

№7.Записать сложную функцию у =у (u (v (x))), где:

1) y =sin u; u =lg v; v =; 2) y =arctg u; u =; v =lg x.

Ответ: 1) y =sin(lg); 2) y =arctg().

№8. Сложную функцию у записать в виде цепочки равенств:

1) у =(2х – 5)¹⁰; 2) y =lg.

Ответ: 1) y=u¹⁰; u=2x – 5; 2) y=lg v; v=tg w; w=.

Занятие 2

Числовая последовательность.

Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел последовательности

Цели

Знать:

v Определение последовательности; бесконечно малой и бесконечно большой последовательности;

v определение предела числовой последовательности;

v основные свойства и операции над пределами последовательностей.

Уметь:

v Вычислять предел последовательности, используя основные свойства и операции над пределами последовательностей.

 

Под числовой последовательностью х₁, х₂, х₃, …, х_n, … понимается функция

x_n=f (n), (11)

заданная на множестве натуральных чисел.

 

Пример. Если известен общий член последовательности x_n=, то соответствующая последовательность будет: 1, , , , …, , …

Действия над последовательностями

Суммой (разностью) последовательностей {xn} и {yn}, называется последовательность, каждый член которой есть сумма (разность) соответствующих членов… (12). Аналогично определяются произведение и частное последовательностей {xn} и {yn}, в случае частного .

Операции над пределами последовательностей

1. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) их пределов:

, (17).

2. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:

, (18).

В частности:

· постоянный множитель можно выносить за знак предела:

, (19);

· предел натуральной степени от сходящейся последовательности равен этой степени от её предела:

, k=1, 2, 3, … (20);

· предел корня k-й степени от сходящейся последовательности равен корню этой же степени от предела последовательности:

, k=2, 3, 4, … (21).

 

№4.Написать первые четыре члена последовательности {x_n}, если: 1) ; 2) х₁=1, x_n=x_{n – 1}+2.

►1) Подставляя последовательно n=1, 2, 3, 4, … в формулу для общего члена последовательности, найдем: х₁= –1; ; ; ;

2) В соответствии с формулой x_n=x_{n – 1}+2 получим: х₂=х₁+2=3, х₃=х₂+2=5, х₄=х₃+2=7. ◄

 

№5. Какие из следующих последовательностей ограничены сверху? снизу? ограничены?

1) 2; 4; 6; 8; …

2) –1; –4; –9; –16; …

3) –2; 4; –8; 16; ….

►1) Данная последовательность, состоящая из всех чётных положительных чисел, ограничена снизу, но не ограничена сверху;

2) x_n= – n²<0 (n=1, 2, 3, …), последовательность ограничена сверху, но не ограничена снизу;

3) x_n=( –2)ⁿ не ограничена, так как для любого числа M>0 можно найти такой номер n, что |x_n|=2 ⁿ>M. ◄

 

№6.Какие из последовательностей монотонные, а какие — строго монотонные: 1) x_n=2n+1; 2) –1; –1; –2; –2; –3; –3; …

►1) данная последовательность строго возрастает, т.к. x_n+1=2(n+1)+1=2n+3>2n+1=x_n для всех натуральных чисел n;

2) данная последовательность невозрастающая, так как , n=1, 2, … и некоторые (например, первый и второй) члены этой последовательности равны между собой. ◄

 

№7.Доказать, что есть бесконечно малая.

►Запишем последовательность значений:

–1, –, –, –, …, , …

отсюда видно, что с возрастанием n значения переменной x_n приближаются к нулю так, что с некоторого номера N абсолютные значения переменной будут меньше любого наперёд заданного сколь угодно малого положительного числа . Докажем это. Пусть дано >0, тогда или <, отсюда n>, следовательно, можно принять номер N>, при значении которого для любых номеров nN будет выполняться неравенство . Пусть, например, ε=0,01, тогда для всех nN, где .

Если ε=, то , т.е. можно принять номер N=3. Следовательно, значения переменной по абсолютной величине для всех номеров . Это и означает, что переменная x_n есть бесконечно малая величина. ◄

 

Постановка задачи. Пользуясь определением последовательности, доказать, что .

План решения. 1. Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для , . Это означает, что неравенство имеет решение для .

2. Найти, при каких n справедливо неравенство , т.е. решить это неравенство относительно n.

3. Если решение имеет вид , то а — предел числовой последовательности {x_n}.

 

⋙Если решение неравенства нельзя представить в виде , то число а не является пределом последовательности {x_n}.

 

№8. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что.

► 1. По определению число а =2 называется пределом числовой последовательности , если .

2. Найдём, при каких n справедливо неравенство , т.е. решим это неравенство относительно n.

3. Неравенство имеет решение . Следовательно, 2 — предел числовой последовательности . ◄

 

Аудиторные задания

№9. Написать первые пять членов последовательности {x_n}, если .

№10.Зная несколько первых членов последовательности {x_n}, написать формулу её общего члена: 1, , , , … Определить какие из последовательностей {x_n} ограничены:

№11. . Ответ: неограниченная.

№12.x_n= –ln n; Ответ: ограничена сверху.

Какие из последовательностей монотонные, а какие — строго монотонные:

№13. . Ответ: убывающая.

№14.. Ответ: неубывающая.

№15.Используя определение, доказать, что последовательность бесконечно малая .

№16. Используя определение предела, доказать, что последовательность сходится к числу 1.

Написать первые пять членов последовательности {x_n}, если:

№17. x_n=.

№18.x_n=.

Зная несколько первых членов последовательности {x_n}, написать формулу её общего члена:

№19.

№20.

№21. –1, 2, –3, 4, –5, …

Какие из последовательностей {x_n} ограничены:

№22.x_n=n³+2n. Ответ: ограничена снизу.

№23. . Ответ: ограниченная.

Какие из последовательностей монотонные, а какие — строго монотонные:

№24. .

Ответ: строго возрастающая, ограниченная.

№25. .

Ответ: строго убывающая, ограниченная сверху.

№26. Пусть {x_n}={n}, — две последовательности.

Найти последовательности {x_n+y_n}, {x_n – y_n}, , .

№27.Доказать, что данная последовательность бесконечно малая: x_n=.

№28.Доказать, что данная последовательность бесконечно большая: x_n=n².

№29.Пользуясь определением последовательности доказать, что .

 

Домашние задания

Найти первые четыре члена последовательности {x_n}, если:

№30. .

№31. x_n=1.

№32. .

№33. x₁=2, x_n=|x_{n – 1} – 2|.

№34. x_n=n!, где .

Зная несколько первых членов последовательности {x_n}, написать формулу его общего члена:

№35. 2, 5, 10, 17, 26, …

№36. –1, 1, –1, 1, –1, …

№37.

№38.

Какие из последовательностей {x_n} ограничены, если:

№39. x_n=sin x. Ответ: ограниченная.

№40. . Ответ: ограниченная сверху.

№41.. Ответ: ограниченная снизу.

№42.. Ответ: неограниченная.

Найти последовательности и , если:

№43. x_n=n, y_n=1;

№44. x_n=n², y_n=n.

Доказать, что данная последовательность бесконечно малая:

№45. x_n=.

№46. x_n=.

Доказать, что данная последовательность бесконечно большая:

№47. x_n=.

№48. x_n=2ⁿ.

Пользуясь определением последовательности доказать:

№49. .

№50. .

Занятие 3

Предел функции.

Раскрытие неопределённостей вида ,

Цели

Знать:

v Определение предела;

v признаки существования пределов;

v основные теоремы о пределах.

Уметь:

v Применять основные теоремы о пределах;

v применять признаки существования пределов при вычислении предела функции;

v вычислять пределы, раскрывая неопределённости вида, .

 

Определение («на языке последовательностей», или по Гейне)

Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х₀ (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, , сходящейся к х₀ (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции f(x_n), сходится к числу А (т.е. ).

 

Определение (на «языке ε-δ», или по Коши»)

Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х₀ (или при , т.е. ), если для любого положительно ε найдётся такое положительное число δ, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

(22).

Следствие. Функция может иметь только один предел при .

Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

(23).

Теоремы 1 и 2 справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

(24).

Следствие. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

(25).

Следствие. (26).

Теорема. Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

, () (27).

При нахождении пределов применяют соотношения:

, (k=const); ;

; ;

;

;

(28).

 

Постановка задачи. Найти .

План решения.Для того чтобы найти вычисляем f (х₀), при этом:

• если данное выражение имеет смысл, то предел равен этому выражению;
• если в результате вычислений нет неопределённостей, воспользуемся одним из соотношений (28).

 

№9. Найти пределы: 1) ; 2) ;

3) .

► 1) Применяя теоремы о пределах, получаем:

==

=;

2) Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, находим: =;

3) Непосредственно применять теорему о пределе частного нельзя, так как предел знаменателя равен нулю (в знаменателе есть бесконечно малая величина при ). В числителе имеем ограниченную величину, отличную от нуля. Таким образом, под знаком предела будет произведение ограниченной величины , отличной от нуля, на бесконечно большую величину при как величину, обратную бесконечно малой. Поэтому . ◄

 

Постановка задачи. Найти , где или .

План решения.Для того чтобы найти вычисляем f (х₀), если в результате вычислений получилась неопределённость или , следует применить соответствующие правила для раскрытия данных неопределённостей.

Неопределённость вида

• Для того чтобы разрешить неопределённость вида, до вычисления предела средствами алгебры в числителе и знаменателе выделяем множитель и сокращаем на него, т.к. .

Чтобы раскрыть неопределённость, в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим образом избавиться от иррациональности.

Неопределённость вида

• Если числитель и знаменатель, сложные степенные функции: необходимо вынести за скобку в числителе и знаменателе дроби неизвестное с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби; после сокращения дроби неопределённость устраняется.

Частный случай: предел рационального выражения вида

при будем рассматривать как предел частного двух многочленов, который равен:

• Если числитель и знаменатель, сложные показательные функции: за скобку вынести наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби; после сокращения дроби неопределённость устраняется.

 

№10. Найти пределы: 1) ;

2) ; 3) .

► 1) =, для раскрытия данной неопределенности средствами алгебры разложим числитель и знаменатель на множители:

,

сократим множитель (х – 3) имеем:

=;

2) . Данное предельное выражение содержит иррациональность в числителе, следовательно, домножим дробь на сопряженное выражение, т.е. на , тогда:

.

В числителе последнего выражения получилась формула — разность квадратов, таким образом:

;

3) , для раскрытия данной неопределенности сделаем замену:

тогда исходное пределное выражение имеетвид:

,

которое раскрывается по известным правилам, т.е.:

==. ◄

 

№11. Найти пределы: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

►1) , для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на х², тогда:

=;

2) , для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на х³, тогда:

;

3) , для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на n⁴, тогда:

==;

4) =, для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на n, тогда:

==0. ◄

 

№12. Найти пределы: 1) ;

2) ; 3) .

► Данные предельные соотношения можно рссмотреть, как частное двух многочленов, т.е:

1) ==2;

2) ;

3) .◄

 

Постановка задачи. Найти .

План решения.Для того чтобы найти вычисляем f (х₀), если в результате вычислений получилась одна из неопределённостей ,или др., то данные неопределённости раскрываются путём преобразования и сведения их к неопределённости или.

 

№13. Найти пределы: 1) ; 2) .

►1) , данное предельное выражение преобразум таким образом:

=;

2) Рассмотрим два случая:

а) . Перенеся иррациональность из числителя в знаменатель, получим:

==

==0;

б) . ◄

 

Аудиторные задания

Найти пределы:

№51. Ответ: 5.

№52. Ответ: .

№53.. Ответ: 0.

№54.. Ответ: .

№55.. Ответ: 2.

№56.. Ответ: –.

№57.. Ответ: .

№58.. Указание: замена: x=t⁶. Ответ: .

№59.. Ответ: 0.

№60.. Ответ: .

№61.. Ответ: .

№62.. Ответ: –9.

№63.. Ответ: .

№64.. Ответ: .

№65.. Ответ: .

№66.. Ответ: 4.

№67.. Ответ: .

№68.. Ответ: .

№69.. Ответ: 0.

 

Домашние задания

Найти пределы:

№70.. Ответ: 40.

№71.. Ответ: .

№72.. Ответ: 4.

№73.. Ответ: 0.

№74.. Ответ: .

№75.. Ответ: .

№76.. Ответ: .

№77.. Ответ: 1.

№78.. Ответ: .

№79.. Ответ:1.

№80.. Ответ: .

№81.. Ответ: .

№82.. Ответ: .

№83.. Ответ: .

№84.. Ответ: –1.

№85.. Указание: замена х+11=t ⁴. Ответ: .

№86.. Ответ: .

№87.. Ответ:.

№88.. Ответ: .

№89.. Ответ: 1.

№90.. Ответ: 0.

№91.. Ответ: 0.

№92.. Ответ: .

№93.. Ответ: .

 

Дополнительные задания

Найти пределы:

№94.. Ответ: .

№95.. Ответ: 2.

№96.. Ответ: .

№97.. Ответ: –1.

№98.. Ответ: 2.

№99.. Ответ: .

№100.. Ответ: 1.

№101.. Ответ: 0.

№102.. Ответ: .

№103.. Ответ: 3.

№104.. Ответ: .

№105.. Ответ: .

№106.. Ответ: .

№107.. Ответ: .

№108.. Ответ: .

№109.. Ответ: .

№110.. Ответ: .

№11. Ответ: 0.

№112.. Ответ: .

№113.. Ответ: 5.

№114.. Ответ: .

№115.. Ответ: 1.

№116.. Ответ: 1.

№117.. Ответ: .

№118.. Ответ: .

№119.. Ответ: .

№120.. Ответ: .

№121.. Ответ: .

№122.. Ответ: 1.

 

Занятие 4

Замечательные пределы

Цели

Знать:

v Замечательные пределы и их следствия.

Уметь:

v Вычислять пределы, используя замечательные пределы.

 

Первый замечательный предел

(29).

Следствия

,

, ,

, ,

, .

Второй замечательный предел

, , (30)

где е— число Эйлера.

Следствия

, ; ; ; , (а=const).  

Дополнительные задания

Найти пределы:

№149.. Ответ: 4.

№150.. Ответ: 1.

№151.. Ответ: .

№152.. Ответ: .

№153.. Ответ: .

№154.. Ответ: е.

№155.. Ответ: .

№156.. Ответ: .

№157.. Ответ: .

№158.. Ответ: .

№159.. Ответ: .

№160.. Ответ: 1.

 

Примерный вариант решения индивидуального домашнего задания «Вычисление пределов»

 

Найти пределы:

№1. .

►==

=. ◄

№2. .

► .◄

№3. .

►==. ◄

№4. .

►===

==. ◄

№5. .

►===

=. ◄

№6. .

► ===

===

=. ◄

№7. .

►===

===

====

=. ◄

№8. .

►==

==0. ◄

№9. .

► ===

===

=. ◄

 

Занятие 5

Вычисление пределов при использовании эквивалентностей

Цели

Знать:

v Эквивалентные бесконечно малые функции и основные теоремы о них.

Уметь:

v Вычислять пределы, используя основные теоремы эквивалентности.

 

▼ Если , то α и β называются эквивалентными бесконечно малыми (при ), это обозначается: α~β. ▲

Важнейшие эквивалентности (31)

1. sin x~x при ;

2. tg x~x при ;

3. arcsin x~x при ;

4. arctg x~x при ;

5. 1 – cos x~при ;

6. e ^x – 1~x при ;

7. a ^x – 1~x ln a при ;

8. ln(1+x)~x при ;

9. ~при ;

10. (1+x)^k – 1~k x, k>0 при ;

в частности, ~.

Постановка задачи: Вычислить предел , где f (x) и g (x) — бесконечно малые функции в точке х =0.

План решения: Бесконечно малые функции, стоящие в числителе и знаменателе, следует заменить на им эквивалентные, используя основные эквивалентности (31).

Если f (x), f₁(x), g (x), g₁(x) — бесконечно малые функции в точке х =0, такие, что f (x)~f₁(x) и g (x)~g₁(x) в точке х=0, и существует , то существует , причём =.

 

Постановка задачи: Вычислить предел , где f (x) и g (x) — бесконечно малые функции в точке х =а.

План решения:1.Нужно заменить f (x) и g (x) на эквивалентные им бесконечно малые функции. Но важнейшие эквивалентности существуют при х=0. Поэтому сначала сделаем замену переменной х – а= t и будем искать предел при .

2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяя в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

 

Постановка задачи:Вычислить предел , где и .

План решения:1. Преобразуем выражение под знаком предела: .

2. Поскольку показательная функция е ^х непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком функции. Имеем:

==.

3. Вычисляем предел показателя , заменяя бесконечно малые функции эквивалентными.

Постановка задачи:Вычислить предел , где и .

План решения: Чтобы использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых, сделаем замену переменной t =x – a (тогда при ) и преобразуем выражение под знаком предела: .

2. Поскольку показательная функция е^х непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем =.

3. При вычислении предела заменяем бесконечно малые функции эквивалентными.

 

№15.Найти пределы: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

► 1) ==

==4;

2) ===

===

==;

3) ===

===

==;

4) ====

===

==

==. ◄

 

Аудиторные задания

Найти пределы:

№161.. Ответ: .

№162.. Ответ: 1.

№163.. Ответ: 3.

№164.. Ответ: .

№165.. Ответ: .

№166.. Ответ: .

№167.. Ответ: .

№168.. Ответ: .

 

Домашние задания

Найти пределы:

№169. . Ответ: ln 5.

№170.. Ответ: 1.

№171.. Ответ: –1.

№172.. Ответ: .

№173.. Ответ: .

№174.. Ответ: .

№177.. Ответ: .

№178.. Ответ: .

№179.. Ответ: е.

 

Дополнительные задания

Найти пределы:

№180.. Ответ: 2.

№181.. Ответ: .

№182.. Ответ: .

№183.. Ответ: .

№184.. Ответ: .

№185.. Ответ: .

№186.. Ответ: .

№187.. Ответ: е^-1.

№188.. Ответ: .

Занятие 6

Обзорное занятие

Цель:обобщить знания, полученные на предыдущих занятиях, отрабротать навык нахождения пределов.

 

При нахождении пределов используют соотношения:

, (а=const);

; где , ;

; ;

; ;

; .

 

Найти пределы:

№189.. Ответ: .

№190. . Ответ: .

№191. . Ответ: е ^–2.

№192.. Ответ: .

№193.. Ответ: 0.

№194.. Ответ: .

№195.. Ответ: .

№196. . Ответ: –2.

№197.. Ответ: .

№198.. Ответ: .

№199. . Ответ: .

№200.. Ответ: .

№201. . Ответ: .

№202.. Ответ: ¥.

№203. . Ответ: 2.

№204.. Ответ: 2.

№205.. Ответ: .

№206.. Ответ: .

№207.. Ответ: 1.

№208.. Ответ: –1.

№209.. Ответ: 3.

№210.. Ответ: 1.

№211.. Ответ: .

№212. . Ответ: е ^–2.

№213.. Ответ: 0.

№214.. Ответ: –2.

№215.. Ответ: е ^–2.

№216.. Ответ: –е.

№217.. Ответ: .

№218.. Ответ: .

№219. . Ответ: .

№220.. Ответ: е³.

№221.. Ответ: .

 

Занятие 7

Непрерывность функции

Цели

Знать:

v Определения: непрерывность функций; непрерывность функции в точке, интервале и на отрезке;

v основные теоремы о непрерывных функциях и свойства функций, непрерывных на отрезке;

v классификацию точек разрыва.

Уметь:

v Определять точки разрыва функции.

 

▼ Пусть функция y =f (x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y =f (x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

(32). ▲

▼ Функция y =f (x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в точке х₀ и её окрестности, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

(33). ▲

▼ Функция y =f (x) называется непрерывной в точке х₀, если её левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, т.е.

(34). ▲

⋙При нахождении предела непрерывной функции f (x) можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию f (x) вместо аргумента х подставить его предельное значение х₀:

lim sin x=sin(lim x);

lim arctg x=arctg (lim x); (35)

lim lg x=lg (lim x).

 

Постановка задачи: Дана функция y =f (x), пользуясь определением непрерывности функции доказать, что функция непрерывна в произвольной точке х₀ области определения данной функции.

План решения:Проверить выполнение условий непрерывности функции y =f (x) в точке х₀:

• значение функции в точке х = х₀ есть определённое число равное значению f (x₀);
• предел функции y =f (x) при стремлении х к х₀ как слева, так и справа, есть одно и то же определённое число ;
• числа и f (x₀) равны.

Если хотя бы одно из условий не выполнено, то функция y = f (x) в точке х₀ имеет разрыв.

 

№16. Пользуясь определением непрерывности функции доказать, что функция у=х² непрерывна в произвольной точке .

„Пусть — приращение аргумента в точке х₀. Найдём соответствующее приращение функции:

==

==.

Теперь, применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций, получим:

==

=.

Таким образом, , что и означает (по определению) непрерывность данной функции в точке . ◄

 

№17.Доказать, что функция

не является непрерывной в точке х₀=0, но непрерывна справа в этой точке. Построить график функции f (x).

►Найдём односторонние пределы в точке х₀=0. Слева от точки х₀ имеем f (x)=0, поэтому . Аналогично, .

Кроме того, f (x₀) = f (x)=1, откуда следует, что . Это означает, что в точке х₀=0 не выполнены все условия непрерывности функции, но функция f (x) непрерывна справа в этой точке.

 

рис.1

 

График функции изображен на рис.1. ◄

 

Постановка задачи:Исследовать на непрерывность функцию y = f (x) в точке х₀.

План решения:Найти односторонние пределы функции y = f (x) в точке х₀, т.е. и , при этом:

• если, А₁=А₂, то точка х₀ — точка устранимого разрыва;
• если , то х₀ — точка конечного разрыва;
• если, по крайней мере, один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности, то точка х₀ — точка разрыва второго рода.

 

№18.Исследовать на непрерывность функцию

► Функция у = х, у = sin x и у =1 непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется её аналитическое выражение, т.е. в точках и .

Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего найдём соответствующие односторонние пределы и значения функции.

В точке имеем:

,

,

.

Таким образом, в точке функция имеет разрыв 1-го рода и непрерывна слева.

Скачок функции f (x) в точке равен .

Для точки имеем:

,

,

а значение не определено. Отсюда следует, что — точка устранимого разрыва. ◄

 

№19. Установить характер разрыва функции в точке х₀=2.

►Находим: , , т.е. функция в точке х₀=2 не имеет ни одного из односторонних пределов. Отсюда следует, что х₀=2 — точка разрыва 2-го рода. ◄

 

Аудиторные задания

Пользуясь определением, доказать непрерывность функции f (x) в каждой точке :

№212. f (x)=x³.

№213. f (x)=4x² – 5x+2.

№.214. Доказать, что функция

не является непрерывной в точке х₀=1, но непрерывна слева в этой точке. Построить график функции.

№.215. Доказать, что функция

не является непрерывной в точке х₀= –2, но непрерывна справа в этой точке. Построить график функции.

 

Исследовать на непрерывность и построить график функции. Найти скачок функции в точках разрыва:

№.216.

Ответ: 1) функция терпит разрыв 1-го рода в точке х= –2; скачок функции равен –2; и имеет устранимый разрыв в точке х =2. В остальных точках функция непрерывна.

№.217.

Ответ: Функция имеет устранимый разрыв в точке х =1 и терпит разрыв 1-го рода в точке х =2; скачок функции равен 4. В остальных точках функция непрерывна.

 

Установить характер разрыва функции в точке х₀:

№218. , х₀= – 4.

Ответ: х₀= – 4 — точка устранимого разрыва.

№219. , х₀=0.

Ответ: х₀ = 0 — точка устранимого разрыва.

 

Домашние задания

Пользуясь определением, доказать непрерывность функции f (x) в каждой точке :

№220..

№221..

№222..

№223..

№224..

Пользуясь определением непрерывности функции, доказать:

№225.Функция непрерывна в точке х = –2.

№226.Функция непрерывна в точке х = 4.

№227.Функция f (x) =cos x непрерывна в точке х = 0.

Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций:

№228..

№229.

№230.

№231.

№232.

№233.

Контрольные вопросы

Последовательности и непрерывные функции

Указание. Доказательство методом от противного удобно провести, используя геометрическое определение предела. 2. Показать, что частное двух бесконечно малых последовательностей может не… Указание. Например, если , .

Функция, её простейшие свойства

2. Может ли график функции быть симметричным: а) относительно оси абсцисс; б) относительно оси ординат? 3. Является ли графиком какой-либо функции множество точек координатной плоскости, изображённое на рис.2.

Примерный вариант контрольной работы

 

Вариант 1

№1. Найти пределы: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

№2. Для данной функции

найти а) точки разрыва; б) скачок функции в каждой точке разрыва; в) сделать чертёж.

 

Вариант 2.

№1. Найти пределы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

№2. Для данной функции

найти: а) точки разрыва; б) найти скачок функции в каждой точке разрыва; в) сделать чертеж.

 

Литература

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике М.: «Высшая школа», 2002 – 466 с.
2. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. - Минск «Вышэйшая школа», 1967. – 529 с.
3. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.I. – М: Высш.шк., 1996. – 304 с.
4. Лихолетов И.И., И.П. Мацкевич Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. – Минск «Вышэйшая школа», 1969. – 452 с.
5. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003. – 576с.:ил.
6. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – Санкт-Петербург «Лань», 2001 – 721 с.
7. Практикум по высшей математике для экономистов Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера, - М.: Дана, 2002390 с.
8. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. проф.В.И. Ермакова М.: Инфра-М, 2003 – 526 с.

 

Содержание

Предисловие…………………………………………………….3

Занятие 1

Основные элементарные функции…………………………………….4

Занятие 2

Числовая последовательность. Предел последовательности……………..9

Занятие 3

Предел функции. Раскрытие неопределённостей вида , ………..18

Занятие 4

Замечательные пределы………………………………….….………31

Решение ИДЗ

«Вычисление пределов»…………………………………………….35

Занятие 5

Вычисление пределов при использовании эквивалентностей…………..40

Занятие 6

Обзорное занятие…………………………………………….…….46

Занятие 7

Непрерывность функции……………………………………………49

Контрольные вопросы………………………………….…….56

Примерный вариант контрольной работы………………..64

Литература……………………………………………….…….65