Действия над последовательностями

Пусть {x_n} и {y_n} произвольные последовательности, содержащих одинаковое количество элементов.

Суммой (разностью) последовательностей {x_n} и {y_n}, называется последовательность, каждый член которой есть сумма (разность) соответствующих членов последовательностей {x_n} и {y_n}.

(12).

Аналогично определяются произведение и частное последовательностей {x_n} и {y_n}, в случае частного .

Частным случаем операции умножения последовательностей (если одна из последовательностей постоянна) является операция умножения последовательности на число: для того, чтобы умножить последовательность {x_n} на число k, необходимо каждый член этой последовательности умножить на k, т.е.

(13).

▼ Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа можно подобрать такой номер N, что, начиная с этого номера (т.е. для всех ), будет выполнено неравенство

(14). ▲

▼ Последовательность {у_n} называется положительной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдётся такой номер N, что для всех n, начиная с этого номера, выполняется неравенство

|y_n|>M (15). ▲

Пример. у_n=( –1)^{n – 1}n, принимает значения: 1; –2; 3; –4; … Данная последовательность есть бесконечно большая величина, так как она становится и остаётся с некоторого номера N по абсолютной величине больше сколь угодно большого числа |M|, |y_n|>M при nN.

▼ Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного числа можно подобрать такой номер N (как правило, зависящий от ), что, начиная с этого номера (т.е. для всех ). Будет выполнено неравенство

(16). ▲